Номер 988, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

988. Может ли $\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}\right)$, где $\alpha$ — угол некоторого треугольника, быть отрицательным?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем выражение $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $ и ограничения, накладываемые на угол $ \alpha $. По условию, $ \alpha $ — это угол некоторого треугольника.

Рассмотрим решение двумя способами.

Способ 1: Анализ знаков сомножителей

Любой угол $ \alpha $ в треугольнике строго больше $ 0 $ и строго меньше $ 180^\circ $. Таким образом, для угла $ \alpha $ справедливо неравенство: $ 0 < \alpha < \pi $ (в радианах).

Разделим это неравенство на 2, чтобы найти диапазон значений для угла $ \frac{\alpha}{2} $:

$ \frac{0}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} \implies 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $

Это означает, что угол $ \frac{\alpha}{2} $ всегда находится в первой координатной четверти. В первой четверти и синус, и косинус принимают положительные значения. Следовательно, $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $ и $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $.

Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом, поэтому $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} > 0 $.

Способ 2: Использование формулы двойного угла

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $. Отсюда можно выразить произведение $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

Применим эту формулу к нашему выражению, взяв $ x = \frac{\alpha}{2} $:

$ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin\alpha $

Как мы уже установили, угол треугольника $ \alpha $ находится в интервале $ 0 < \alpha < \pi $. Для всех углов в этом интервале (первая и вторая координатные четверти) синус принимает положительные значения: $ \sin\alpha > 0 $.

Поскольку $ \sin\alpha > 0 $, то и $ \frac{1}{2}\sin\alpha > 0 $.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: выражение $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $ всегда положительно для любого угла $ \alpha $ треугольника, а значит, не может быть отрицательным.

Ответ: нет, не может.