Номер 981, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

981. Выяснить, каковы знаки чисел $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$, $\operatorname{ctg} \alpha$, если:

1) $3\pi < \alpha < \frac{10}{3}\pi$;

2) $\frac{5\pi}{2} < \alpha < \frac{11\pi}{4}$.

1) Рассмотрим неравенство $3\pi < \alpha < \frac{10\pi}{3}$.

Чтобы определить координатную четверть, в которой находится угол $\alpha$, найдем эквивалентный ему угол в промежутке от $0$ до $2\pi$. Для этого вычтем из границ неравенства период $2\pi$ (полный оборот):
Нижняя граница: $3\pi - 2\pi = \pi$.
Верхняя граница: $\frac{10\pi}{3} - 2\pi = \frac{10\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Таким образом, угол $\alpha$ принадлежит интервалу, эквивалентному $(\pi, \frac{4\pi}{3})$. Этот интервал находится в III координатной четверти, поскольку $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.

В III четверти знаки тригонометрических функций следующие:
- $\sin\alpha$ (синус) отрицателен, так как ордината (координата y) в этой четверти отрицательна. Значит, $\sin\alpha < 0$.
- $\cos\alpha$ (косинус) отрицателен, так как абсцисса (координата x) в этой четверти отрицательна. Значит, $\cos\alpha < 0$.
- $\text{tg}\,\alpha$ и $\text{ctg}\,\alpha$ являются отношениями синуса и косинуса. Так как $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательны), их отношение будет положительным. Значит, $\text{tg}\,\alpha > 0$ и $\text{ctg}\,\alpha > 0$.

Ответ: $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, $\text{tg}\,\alpha > 0$, $\text{ctg}\,\alpha > 0$.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{5\pi}{2} < \alpha < \frac{11\pi}{4}$.

Приведем угол $\alpha$ к основному промежутку от $0$ до $2\pi$, вычтя из границ неравенства период $2\pi$:
Нижняя граница: $\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Верхняя граница: $\frac{11\pi}{4} - 2\pi = \frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, угол $\alpha$ принадлежит интервалу, эквивалентному $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$. Этот интервал находится во II координатной четверти, поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$.

Во II четверти знаки тригонометрических функций следующие:
- $\sin\alpha$ (синус) положителен, так как ордината (координата y) в этой четверти положительна. Значит, $\sin\alpha > 0$.
- $\cos\alpha$ (косинус) отрицателен, так как абсцисса (координата x) в этой четверти отрицательна. Значит, $\cos\alpha < 0$.
- $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Отношение положительного и отрицательного чисел отрицательно. Значит, $\text{tg}\,\alpha < 0$.
- $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Отношение отрицательного и положительного чисел отрицательно. Значит, $\text{ctg}\,\alpha < 0$.

Ответ: $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\text{tg}\,\alpha < 0$, $\text{ctg}\,\alpha < 0$.