Номер 976, страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

976. Определить знак числа cosα, если:

1) $\alpha = \frac{7}{6}\pi$;

2) $\alpha = 4.6$;

3) $\alpha = -5.3$;

4) $\alpha = -150^{\circ}$.

Чтобы определить знак числа $ \cos \alpha $, нужно определить, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $. Знак косинуса (который соответствует координате x на единичной окружности) определяется следующим образом:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ или $0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $ \cos \alpha > 0 $ (знак плюс)
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ или $90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $ \cos \alpha < 0 $ (знак минус)
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ или $180^\circ < \alpha < 270^\circ$): $ \cos \alpha < 0 $ (знак минус)
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ или $270^\circ < \alpha < 360^\circ$): $ \cos \alpha > 0 $ (знак плюс)

1) $ \alpha = \frac{7\pi}{6} $

Угол дан в радианах. Чтобы определить четверть, сравним значение угла с границами четвертей, выраженными в долях $ \pi $.

Мы знаем, что $ \pi = \frac{6\pi}{6} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} $.

Сравнивая, получаем неравенство: $ \pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} $.

Это означает, что угол $ \alpha = \frac{7\pi}{6} $ находится в III координатной четверти.

В III четверти косинус отрицателен.

Ответ: минус.

2) $ \alpha = 4,6 $

Угол дан в радианах в виде десятичной дроби. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14159 $.

Определим границы четвертей в числовом выражении:

$ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57 $

$ \pi \approx 3,14 $

$ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14159}{2} \approx 4,71 $

Сравним заданный угол $ \alpha = 4,6 $ с этими значениями: $ \pi < 4,6 < \frac{3\pi}{2} $, так как $ 3,14 < 4,6 < 4,71 $.

Следовательно, угол $ \alpha = 4,6 $ находится в III координатной четверти.

В III четверти косинус отрицателен.

Ответ: минус.

3) $ \alpha = -5,3 $

Угол дан в радианах и является отрицательным. Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке. Чтобы определить четверть, можно найти эквивалентный положительный угол, прибавив $ 2\pi $ (полный оборот).

Используем приближение $ 2\pi \approx 6,28 $.

Найдем наименьший положительный угол: $ \alpha' = -5,3 + 2\pi \approx -5,3 + 6,28 = 0,98 $ радиан.

Теперь определим четверть для угла $ \alpha' = 0,98 $. Сравним его с $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $.

Так как $ 0 < 0,98 < \frac{\pi}{2} $, угол находится в I координатной четверти.

В I четверти косинус положителен.

Ответ: плюс.

4) $ \alpha = -150^\circ $

Угол дан в градусах и является отрицательным. Отсчет ведется по часовой стрелке.

Границы четвертей при движении по часовой стрелке: IV четверть (от $ 0^\circ $ до $ -90^\circ $), III четверть (от $ -90^\circ $ до $ -180^\circ $).

Угол $ -150^\circ $ удовлетворяет неравенству $ -180^\circ < -150^\circ < -90^\circ $.

Следовательно, угол $ \alpha = -150^\circ $ находится в III координатной четверти.

В III четверти косинус отрицателен.

Ответ: минус.