Номер 980, страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

980. Пусть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Определить знак числа:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$;

2) $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$;

3) $\cos(\alpha-\pi)$;

4) $\text{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$;

5) $\text{tg}\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)$;

6) $\sin(\pi-\alpha)$.

Для определения знака каждого числа мы будем использовать тот факт, что угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. В этой четверти все тригонометрические функции ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$) имеют положительные значения.

1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$. Начнем с неравенства для $\alpha$: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Умножим все части на -1, при этом знаки неравенства изменятся: $0 > -\alpha > -\frac{\pi}{2}$, или $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$. Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} + 0$. Получаем: $0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти. Синус в I четверти положителен. Альтернативно, по формуле приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$. Поскольку $\alpha$ находится в I четверти, $\cos(\alpha)$ > 0.

Ответ: Положительный.

2) $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Определим четверть для угла $\frac{\pi}{2} + \alpha$. Из условия $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям: $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi$. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен. По формуле приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\sin(\alpha)$ > 0, следовательно, $-\sin(\alpha)$ < 0.

Ответ: Отрицательный.

3) $\cos(\alpha - \pi)$

Косинус — четная функция, поэтому $\cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha)$. Теперь определим четверть для угла $\pi - \alpha$. Из $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ следует, что $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$. Прибавим $\pi$: $\pi - \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$, то есть $\frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$. Угол находится во II четверти, где косинус отрицателен. По формуле приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\cos(\alpha)$ > 0, следовательно, $-\cos(\alpha)$ < 0.

Ответ: Отрицательный.

4) $\tan(\alpha - \frac{\pi}{2})$

Тангенс — нечетная функция, поэтому $\tan(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$, как мы выяснили в пункте 1, находится в I четверти. Тангенс в I четверти положителен. Следовательно, $-\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ будет отрицательным. По формуле приведения: $-\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\cot(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\cot(\alpha)$ > 0, а значит $-\cot(\alpha)$ < 0.

Ответ: Отрицательный.

5) $\tan(\frac{3}{2}\pi - \alpha)$

Определим четверть для угла $\frac{3}{2}\pi - \alpha$. Из $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ следует, что $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$. Прибавим $\frac{3\pi}{2}$: $\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2}$, то есть $\pi < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Угол находится в III четверти. Тангенс в III четверти положителен. По формуле приведения: $\tan(\frac{3}{2}\pi - \alpha) = \cot(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\cot(\alpha)$ > 0.

Ответ: Положительный.

6) $\sin(\pi - \alpha)$

Определим четверть для угла $\pi - \alpha$. Как мы выяснили в пункте 3, $\frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$. Угол находится во II четверти. Синус во II четверти положителен. По формуле приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\sin(\alpha)$ > 0.

Ответ: Положительный.