Номер 978, страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

978. Определить знаки чисел $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, если:

1) $ \pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi; $

2) $ \frac{3}{2}\pi < \alpha < \frac{7}{4}\pi; $

3) $ \frac{7}{4}\pi < \alpha < 2\pi; $

4) $ 2\pi < \alpha < 2,5\pi. $

Для определения знаков тригонометрических функций $ \sin\alpha $, $ \cos\alpha $ и $ \text{tg}\,\alpha $ будем использовать единичную окружность и расположение угла $ \alpha $ в одной из четырёх координатных четвертей.

• I четверть ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $): $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha > 0 $
• II четверть ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $): $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha < 0 $, $ \text{tg}\,\alpha < 0 $
• III четверть ($ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $): $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha < 0 $, $ \text{tg}\,\alpha > 0 $
• IV четверть ($ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $): $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha < 0 $

1) $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $

Угол $ \alpha $ в этом интервале расположен в третьей координатной четверти. В этой четверти синус (координата y) и косинус (координата x) отрицательны. Так как $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, то при делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. Таким образом, $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha < 0 $, $ \text{tg}\,\alpha > 0 $.

Ответ: $ \sin\alpha < 0 $ (минус), $ \cos\alpha < 0 $ (минус), $ \text{tg}\,\alpha > 0 $ (плюс).

2) $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < \frac{7\pi}{4} $

Угол $ \alpha $ в этом интервале расположен в четвертой координатной четверти, так как $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < \frac{7\pi}{4} < 2\pi $. В этой четверти синус (координата y) отрицателен, а косинус (координата x) положителен. Тангенс, как отношение отрицательного числа к положительному, будет отрицательным. Таким образом, $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha < 0 $.

Ответ: $ \sin\alpha < 0 $ (минус), $ \cos\alpha > 0 $ (плюс), $ \text{tg}\,\alpha < 0 $ (минус).

3) $ \frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi $

Угол $ \alpha $ в этом интервале также расположен в четвертой координатной четверти. Следовательно, знаки функций будут такими же, как и в предыдущем пункте. Синус отрицателен, косинус положителен, а тангенс отрицателен. Таким образом, $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha < 0 $.

Ответ: $ \sin\alpha < 0 $ (минус), $ \cos\alpha > 0 $ (плюс), $ \text{tg}\,\alpha < 0 $ (минус).

4) $ 2\pi < \alpha < 2,5\pi $

В силу периодичности тригонометрических функций (период $ 2\pi $), данный интервал эквивалентен интервалу $ 0 < \alpha' < 0,5\pi $, где $ \alpha' = \alpha - 2\pi $. Интервал $ 0 < \alpha' < \frac{\pi}{2} $ соответствует первой координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус, и тангенс положительны. Таким образом, $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha > 0 $.

Ответ: $ \sin\alpha > 0 $ (плюс), $ \cos\alpha > 0 $ (плюс), $ \text{tg}\,\alpha > 0 $ (плюс).