Номер 983, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

983. Определить знак числа:

1) $\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{3\pi}{4}$;

2) $\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}$;

3) $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}$.

1) $\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{3\pi}{4}$

Для определения знака произведения необходимо определить знаки каждого из множителей.
Первый множитель: $\sin\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан ($120^\circ$) находится во второй координатной четверти, так как выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Значение синуса во второй четверти положительно, следовательно, $\sin\frac{2\pi}{3} > 0$.
Второй множитель: $\sin\frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан ($135^\circ$) также находится во второй координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$. Значение синуса во второй четверти также положительно, следовательно, $\sin\frac{3\pi}{4} > 0$.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом: $(+) \cdot (+) = (+)$.
Таким образом, выражение $\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{3\pi}{4}$ положительно.
Ответ: знак плюс (+).

2) $\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}$

Определим знак каждого множителя в данном выражении.
Первый множитель: $\cos\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан ($120^\circ$) находится во второй координатной четверти. Значение косинуса во второй четверти отрицательно, поэтому $\cos\frac{2\pi}{3} < 0$.
Второй множитель: $\cos\frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан ($30^\circ$) находится в первой координатной четверти ($0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$). Значение косинуса в первой четверти положительно, поэтому $\cos\frac{\pi}{6} > 0$.
Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.
Следовательно, выражение $\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}$ отрицательно.
Ответ: знак минус (-).

3) $\tg\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}$

Для определения знака суммы необходимо определить знаки каждого из слагаемых.
Первое слагаемое: $\tg\frac{5\pi}{4}$. Угол $\frac{5\pi}{4}$ радиан ($225^\circ$) находится в третьей координатной четверти ($\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$). Значение тангенса в третьей четверти положительно, значит, $\tg\frac{5\pi}{4} > 0$. Для проверки найдём точное значение: $\tg\frac{5\pi}{4} = \tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Второе слагаемое: $\sin\frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан ($45^\circ$) находится в первой координатной четверти. Значение синуса в первой четверти положительно, значит, $\sin\frac{\pi}{4} > 0$. Точное значение: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сумма двух положительных чисел ($1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$) является положительным числом.
Таким образом, выражение $\tg\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}$ положительно.
Ответ: знак плюс (+).