Номер 982, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

982. Найти значения углов $\alpha$ из промежутка от 0 до $2\pi$, знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны.

Для решения задачи проанализируем знаки тригонометрических функций синуса и косинуса в зависимости от угла $\alpha$ на единичной окружности. Рассматривается промежуток от 0 до $2\pi$.

Знак синуса ($\sin \alpha$) соответствует знаку ординаты (координаты y) точки на единичной окружности, а знак косинуса ($\cos \alpha$) — знаку абсциссы (координаты x). Вспомним знаки по координатным четвертям:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\cos \alpha > 0$ (x > 0), $\sin \alpha > 0$ (y > 0). Знаки совпадают.
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\cos \alpha < 0$ (x < 0), $\sin \alpha > 0$ (y > 0). Знаки различны.
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\cos \alpha < 0$ (x < 0), $\sin \alpha < 0$ (y < 0). Знаки совпадают.
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\cos \alpha > 0$ (x > 0), $\sin \alpha < 0$ (y < 0). Знаки различны.

На границах четвертей (при углах $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$) одна из функций равна нулю, поэтому её знак не является ни положительным, ни отрицательным. Следовательно, эти граничные точки не входят в искомые множества, так как для них условие о совпадении или различии знаков (положительный/отрицательный) не выполняется.

совпадают

Знаки синуса и косинуса совпадают, если обе функции одновременно положительны или одновременно отрицательны. Это условие эквивалентно неравенству $\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Обе функции положительны: $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$. Это соответствует углам в первой координатной четверти. В рамках заданного промежутка от 0 до $2\pi$, это интервал $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

2. Обе функции отрицательны: $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$. Это соответствует углам в третьей координатной четверти. В рамках заданного промежутка, это интервал $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, множество значений $\alpha$, для которых знаки синуса и косинуса совпадают, является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2})$.

различны

Знаки синуса и косинуса различны, если одна из функций положительна, а другая отрицательна. Это условие эквивалентно неравенству $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Синус положителен, а косинус отрицателен: $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$. Это соответствует углам во второй координатной четверти. В рамках заданного промежутка от 0 до $2\pi$, это интервал $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

2. Синус отрицателен, а косинус положителен: $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$. Это соответствует углам в четвертой координатной четверти. В рамках заданного промежутка, это интервал $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Следовательно, множество значений $\alpha$, для которых знаки синуса и косинуса различны, является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.