Номер 975, страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

975. Определить знак числа $\sin \alpha$, если:

1) $\alpha = \frac{33\pi}{7};$

2) $\alpha = -0,1\pi;$

3) $\alpha = 5,1;$

4) $\alpha = -470^\circ.$

Для определения знака $\sin \alpha$ необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Знак синуса по четвертям:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\sin \alpha > 0$ (плюс)
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0$ (плюс)
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\sin \alpha < 0$ (минус)
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0$ (минус)

1) $\alpha = \frac{33\pi}{7}$

Чтобы определить четверть, упростим угол, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$). Период функции синус равен $2\pi$.

$\alpha = \frac{33\pi}{7} = \frac{28\pi + 5\pi}{7} = \frac{28\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} = 4\pi + \frac{5\pi}{7} = 2 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{7}$.

Отбросив полные обороты ($2 \cdot 2\pi$), получим угол $\frac{5\pi}{7}$. Знак $\sin(\frac{33\pi}{7})$ совпадает со знаком $\sin(\frac{5\pi}{7})$.

Сравним угол $\frac{5\pi}{7}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$.

Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$, угол находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен.

Ответ: знак плюс (+).

2) $\alpha = -0,1\pi$

Отрицательный угол означает движение по часовой стрелке от начальной точки на тригонометрической окружности. Сравним угол с границами четвертей:

$-\frac{\pi}{2} < -0,1\pi < 0$.

Это соответствует четвертой четверти. В четвертой четверти синус отрицателен.

Ответ: знак минус (−).

3) $\alpha = 5,1$

Угол дан в радианах. Сравним его значение с приближенными значениями границ четвертей, используя $\pi \approx 3,14159$.

$\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.

Видим, что $4,71 < 5,1 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5,1 < 2\pi$.

Угол находится в четвертой четверти. В четвертой четверти синус отрицателен.

Ответ: знак минус (−).

4) $\alpha = -470^{\circ}$

Угол дан в градусах. Период синуса равен $360^{\circ}$. Найдем эквивалентный угол в промежутке от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$ путем прибавления полных оборотов.

$\sin(-470^{\circ}) = \sin(-470^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ}) = \sin(-470^{\circ} + 720^{\circ}) = \sin(250^{\circ})$.

Теперь определим четверть для угла $250^{\circ}$.

$180^{\circ} < 250^{\circ} < 270^{\circ}$.

Угол находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен.

Ответ: знак минус (−).