Номер 974, страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

974. Пусть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Выяснить, в какой четверти находится точка, полученная поворотом точки P(1; 0) на угол:

1) $\frac{\pi}{2} - \alpha$;

2) $\alpha - \pi$;

3) $\frac{\pi}{2} + \alpha$;

4) $\pi - \alpha$.

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в I-й четверти, то есть выполняется неравенство $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Для определения четверти, в которой находится точка после поворота на заданный угол, необходимо оценить диапазон значений этого угла. На тригонометрической окружности I-я четверть соответствует углам от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, II-я четверть — от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, III-я четверть — от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$, а IV-я четверть — от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ (или от $-\frac{\pi}{2}$ до $0$).

1) $\frac{\pi}{2} - \alpha$;

Начнем с исходного неравенства: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$.
Теперь прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям полученного неравенства:
$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} + 0$
$0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}$
Поскольку полученный угол находится в интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, точка расположена в I-й четверти.

Ответ: I-я четверть.

2) $\alpha - \pi$;

Начнем с исходного неравенства: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Вычтем $\pi$ из всех частей неравенства:
$0 - \pi < \alpha - \pi < \frac{\pi}{2} - \pi$
$-\pi < \alpha - \pi < -\frac{\pi}{2}$
Диапазон углов от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$ соответствует III-й четверти. Чтобы это увидеть, можно прибавить к границам интервала $2\pi$ для получения эквивалентных положительных углов: $\pi < \alpha - \pi + 2\pi < \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: III-я четверть.

3) $\frac{\pi}{2} + \alpha$;

Начнем с исходного неравенства: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{\pi}{2} + 0 < \frac{\pi}{2} + \alpha < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi$
Поскольку полученный угол находится в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, точка расположена во II-й четверти.

Ответ: II-я четверть.

4) $\pi - \alpha$.

Начнем с исходного неравенства: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$.
Теперь прибавим $\pi$ ко всем частям полученного неравенства:
$\pi - \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi + 0$
$\frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$
Поскольку полученный угол находится в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, точка расположена во II-й четверти.

Ответ: II-я четверть.