Номер 967, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

967. Решить уравнение:

1) $sin x = -1;$

2) $cos x = -1;$

3) $sin 3x = 0;$

4) $cos 0,5x = 0;$

5) $sin \left(\frac{x}{2} + 6\pi\right) = 1;$

6) $cos(5x + 4\pi) = 1.$

1) Дано уравнение $\sin x = -1$. Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решением являются значения угла $x$, при которых синус равен -1. На единичной окружности это соответствует точке с наименьшей ординатой, то есть углу $-\frac{\pi}{2}$. Так как функция синуса периодическая с периодом $2\pi$, то все решения уравнения можно записать в виде формулы: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\cos x = -1$. Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решением являются значения угла $x$, при которых косинус равен -1. На единичной окружности это соответствует точке с наименьшей абсциссой, то есть углу $\pi$. Так как функция косинуса периодическая с периодом $2\pi$, то все решения уравнения можно записать в виде формулы: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin 3x = 0$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент кратен $\pi$. Следовательно, аргумент $3x$ должен быть равен $\pi k$: $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3: $x = \frac{\pi k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\cos 0,5x = 0$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю, когда его аргумент имеет вид $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Следовательно, аргумент $0,5x$ должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$: $0,5x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2: $x = 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k) = \pi + 2\pi k$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $\sin(\frac{x}{2} + 6\pi) = 1$. Функция синуса имеет период $2\pi$, это означает, что $\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha)$ для любого целого $n$. Поскольку $6\pi$ является кратным $2\pi$ ($6\pi = 3 \cdot 2\pi$), мы можем упростить уравнение, отбросив $6\pi$: $\sin(\frac{x}{2}) = 1$. Это частный случай, синус равен 1, когда его аргумент имеет вид $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2: $x = 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \pi + 4\pi k$.
Ответ: $x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $\cos(5x + 4\pi) = 1$. Функция косинуса имеет период $2\pi$, это означает, что $\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)$ для любого целого $n$. Поскольку $4\pi$ является кратным $2\pi$ ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$), мы можем упростить уравнение, отбросив $4\pi$: $\cos(5x) = 1$. Это частный случай, косинус равен 1, когда его аргумент кратен $2\pi$. $5x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на 5: $x = \frac{2\pi k}{5}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.