Номер 960, страница 283 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (960–961).

960. 1) $\sin 3\pi - \cos \frac{3\pi}{2};$

2) $\cos 0 - \cos 3\pi + \cos 3,5\pi;$

3) $\sin \pi k + \cos 2\pi k, k \in \mathbf{Z};$

4) $\cos \frac{(2k+1)\pi}{2} - \sin \frac{(4k+1)\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}.$

1) Для вычисления значения выражения $sin3\pi - cos\frac{3\pi}{2}$ найдем значения каждой из тригонометрических функций.

Функция синуса имеет период $2\pi$, поэтому $sin(3\pi) = sin(\pi + 2\pi) = sin(\pi)$. На единичной окружности углу $\pi$ соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Синус равен ординате, следовательно, $sin(\pi) = 0$.

Углу $\frac{3\pi}{2}$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Косинус равен абсциссе, следовательно, $cos\frac{3\pi}{2} = 0$.

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$sin3\pi - cos\frac{3\pi}{2} = 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0.

2) Для вычисления значения выражения $cos0 - cos3\pi + cos3,5\pi$ найдем значения каждого слагаемого.

Значение $cos0$ равно 1.

Функция косинуса имеет период $2\pi$, поэтому $cos(3\pi) = cos(\pi + 2\pi) = cos(\pi)$. Значение $cos(\pi)$ равно -1.

Представим $3,5\pi$ как $\frac{7\pi}{2}$. Учитывая периодичность косинуса, получим $cos(3,5\pi) = cos(\frac{7\pi}{2}) = cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}) = cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$cos0 - cos3\pi + cos3,5\pi = 1 - (-1) + 0 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

3) Рассмотрим выражение $sin(\pi k) + cos(2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - целое число).

Для любого целого числа $k$, значение $\pi k$ является целым кратным $\pi$. Синус любого угла, кратного $\pi$, равен нулю. Таким образом, $sin(\pi k) = 0$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Для любого целого числа $k$, значение $2\pi k$ является целым кратным $2\pi$. Косинус любого угла, кратного $2\pi$, равен единице. Таким образом, $cos(2\pi k) = 1$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Складываем полученные значения:

$sin(\pi k) + cos(2\pi k) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

4) Рассмотрим выражение $cos\frac{(2k+1)\pi}{2} - sin\frac{(4k+1)\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для любого целого числа $k$, выражение $2k+1$ представляет собой нечетное число. Таким образом, $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ представляет собой нечетное кратное $\frac{\pi}{2}$ (например, $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$). Косинус таких углов всегда равен нулю, так как они соответствуют точкам на оси OY единичной окружности. Следовательно, $cos\frac{(2k+1)\pi}{2} = 0$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $sin\frac{(4k+1)\pi}{2}$. Преобразуем аргумент синуса: $\frac{(4k+1)\pi}{2} = \frac{4k\pi + \pi}{2} = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$.

Используя периодичность синуса ($sin(x+2\pi n) = sin(x)$, где $n \in \mathbb{Z}$), получаем:

$sin(2k\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$cos\frac{(2k+1)\pi}{2} - sin\frac{(4k+1)\pi}{2} = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1.