Страница 283 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

957. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие числу $\alpha$, если:

1) $sin \alpha = 1$;
2) $sin \alpha = 0$;
3) $cos \alpha = -1$;
4) $cos \alpha = 0$;
5) $sin \alpha = -0,6$;
6) $sin \alpha = 0,5$;
7) $cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся определением синуса и косинуса через единичную окружность. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1, с центром в начале координат (0,0). Для любой точки $P(x, y)$ на этой окружности, соответствующей углу $\alpha$, ее координаты равны $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

1) $\sin \alpha = 1$

Значение $\sin \alpha$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности. Следовательно, нам нужно найти точку с ординатой $y=1$. На единичной окружности такая точка только одна — это самая верхняя точка, расположенная на положительной части оси $Oy$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения единичной окружности с положительной полуосью $Oy$. Её координаты $(0, 1)$.

2) $\sin \alpha = 0$

Нам нужно найти точки с ординатой $y=0$. Такие точки лежат на оси абсцисс $Ox$. Единичная окружность пересекает ось $Ox$ в двух точках.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности с осью $Ox$. Их координаты $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

3) $\cos \alpha = -1$

Значение $\cos \alpha$ — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности. Нам нужно найти точку с абсциссой $x=-1$. На единичной окружности такая точка только одна — это самая левая точка, расположенная на отрицательной части оси $Ox$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения единичной окружности с отрицательной полуосью $Ox$. Её координаты $(-1, 0)$.

4) $\cos \alpha = 0$

Нам нужно найти точки с абсциссой $x=0$. Такие точки лежат на оси ординат $Oy$. Единичная окружность пересекает ось $Oy$ в двух точках.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности с осью $Oy$. Их координаты $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

5) $\sin \alpha = -0,6$

Чтобы найти искомые точки, нужно найти пересечения единичной окружности с горизонтальной прямой $y = -0,6$. Поскольку $-1 < -0,6 < 1$, прямая пересечет окружность в двух точках. Эти точки будут находиться ниже оси $Ox$ и будут симметричны относительно оси $Oy$. Одна точка будет в III координатной четверти, а другая — в IV.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности и прямой $y = -0,6$. Одна точка находится в III четверти, другая — в IV четверти.

6) $\sin \alpha = 0,5$

Чтобы найти искомые точки, нужно найти пересечения единичной окружности с горизонтальной прямой $y = 0,5$. Поскольку $-1 < 0,5 < 1$, прямая пересечет окружность в двух точках. Эти точки будут находиться выше оси $Ox$ и будут симметричны относительно оси $Oy$. Одна точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{6}$, находится в I координатной четверти, а другая, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{6}$, — во II четверти.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности и прямой $y = 0,5$. Одна точка находится в I четверти, другая — во II четверти.

7) $\cos \alpha = \frac{1}{3}$

Чтобы найти искомые точки, нужно найти пересечения единичной окружности с вертикальной прямой $x = \frac{1}{3}$. Поскольку $-1 < \frac{1}{3} < 1$, прямая пересечет окружность в двух точках. Эти точки будут находиться правее оси $Oy$ и будут симметричны относительно оси $Ox$. Одна точка будет в I координатной четверти, а другая — в IV четверти.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения единичной окружности и прямой $x = \frac{1}{3}$. Одна точка находится в I четверти, другая — в IV четверти.

958. Вычислить:

1) $\sin(-\frac{\pi}{2}) + \cos\frac{\pi}{2};$

2) $\sin 0 - \cos 2\pi;$

3) $\sin\pi + \sin 1,5\pi;$

4) $\sin 0 + \cos 2\pi.$

1) Для вычисления значения выражения $ \sin(-\frac{\pi}{2}) + \cos\frac{\pi}{2} $ воспользуемся свойством нечетности функции синус и известными значениями тригонометрических функций.
Синус — нечетная функция, что означает $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Поэтому $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) $.
Значения синуса и косинуса для данных углов равны: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $
$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $
Подставим эти значения в исходное выражение:
$ \sin(-\frac{\pi}{2}) + \cos\frac{\pi}{2} = -1 + 0 = -1 $.
Ответ: -1

2) Для вычисления значения выражения $ \sin0 - \cos2\pi $ используем табличные значения тригонометрических функций.
Значения синуса и косинуса для данных углов равны:
$ \sin(0) = 0 $
$ \cos(2\pi) = 1 $
Подставим эти значения в выражение:
$ \sin0 - \cos2\pi = 0 - 1 = -1 $.
Ответ: -1

3) Для вычисления значения выражения $ \sin\pi + \sin1,5\pi $ используем табличные значения тригонометрических функций. Угол $ 1,5\pi $ можно записать как $ \frac{3\pi}{2} $.
Значения синуса для данных углов равны:
$ \sin(\pi) = 0 $
$ \sin(1,5\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $
Подставим эти значения в выражение:
$ \sin\pi + \sin1,5\pi = 0 + (-1) = -1 $.
Ответ: -1

4) Для вычисления значения выражения $ \sin0 + \cos2\pi $ используем табличные значения тригонометрических функций.
Значения синуса и косинуса для данных углов равны:
$ \sin(0) = 0 $
$ \cos(2\pi) = 1 $
Подставим эти значения в выражение:
$ \sin0 + \cos2\pi = 0 + 1 = 1 $.
Ответ: 1

958. Найти значения синуса и косинуса числа $\beta$, если:

1) $\beta = 3\pi$;

2) $\beta = 4\pi$;

3) $\beta = 3,5\pi$;

4) $\beta = \frac{5}{2}\pi$;

5) $\beta = \pi k, k \in \mathbf{Z}$;

6) $\beta = (2k + 1)\pi, k \in \mathbf{Z}$.

1) $\beta = 3\pi;$

Для нахождения значений синуса и косинуса воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций. Период функций синуса и косинуса равен $2\pi$, что означает $\sin(x + 2\pi n) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi n) = \cos(x)$ для любого целого $n$.
Представим угол $\beta = 3\pi$ в виде $\beta = 2\pi + \pi$. Отбросив полный период $2\pi$, получим:
$\sin(3\pi) = \sin(2\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$.
$\cos(3\pi) = \cos(2\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Точка, соответствующая углу $3\pi$ на единичной окружности, имеет координаты $(-1, 0)$.

Ответ: $\sin(3\pi) = 0, \cos(3\pi) = -1$.

2) $\beta = 4\pi;$

Угол $\beta = 4\pi$ является кратным периоду $2\pi$, так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$. Это соответствует двум полным оборотам на единичной окружности, возвращая точку в исходное положение, соответствующее углу $0$.
$\sin(4\pi) = \sin(2 \cdot 2\pi) = \sin(0) = 0$.
$\cos(4\pi) = \cos(2 \cdot 2\pi) = \cos(0) = 1$.
Точка, соответствующая углу $4\pi$ на единичной окружности, имеет координаты $(1, 0)$.

Ответ: $\sin(4\pi) = 0, \cos(4\pi) = 1$.

3) $\beta = 3,5\pi;$

Представим угол $\beta = 3,5\pi$ в виде $\beta = \frac{7}{2}\pi$. Используя периодичность, вычтем полный оборот $2\pi$:
$\frac{7}{2}\pi = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
Таким образом:
$\sin(3,5\pi) = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
$\cos(3,5\pi) = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
Точка, соответствующая углу $3,5\pi$ на единичной окружности, имеет координаты $(0, -1)$.

Ответ: $\sin(3,5\pi) = -1, \cos(3,5\pi) = 0$.

4) $\beta = \frac{5}{2}\pi;$

Представим угол $\beta = \frac{5}{2}\pi$ с выделением целого числа периодов $2\pi$:
$\frac{5}{2}\pi = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Используя периодичность, получаем:
$\sin(\frac{5}{2}\pi) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$\cos(\frac{5}{2}\pi) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Точка, соответствующая углу $\frac{5}{2}\pi$ на единичной окружности, имеет координаты $(0, 1)$.

Ответ: $\sin(\frac{5}{2}\pi) = 1, \cos(\frac{5}{2}\pi) = 0$.

5) $\beta = \pi k, k \in \mathbb{Z};$

Здесь $\beta = \pi k$, где $k$ - любое целое число. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.
Случай 1: $k$ - четное число. Пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $\beta = 2n\pi$. Эти углы соответствуют точке $(1, 0)$ на единичной окружности. Следовательно:
$\sin(2n\pi) = 0$
$\cos(2n\pi) = 1$
Случай 2: $k$ - нечетное число. Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $\beta = (2n + 1)\pi$. Эти углы соответствуют точке $(-1, 0)$ на единичной окружности. Следовательно:
$\sin((2n+1)\pi) = 0$
$\cos((2n+1)\pi) = -1$
Объединяя оба случая, получаем, что $\sin(\pi k) = 0$ для любого целого $k$. Значение косинуса равно $1$ для четных $k$ и $-1$ для нечетных $k$. Это можно записать одной формулой: $\cos(\pi k) = (-1)^k$.

Ответ: $\sin(\pi k) = 0, \cos(\pi k) = (-1)^k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

6) $\beta = (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Здесь $\beta = (2k + 1)\pi$, где $k$ - любое целое число. Выражение $(2k+1)$ задает любое нечетное целое число. Таким образом, этот случай является частным случаем предыдущего пункта (когда $k$ нечетно).
Угол $\beta = (2k + 1)\pi = 2k\pi + \pi$ всегда соответствует точке $(-1, 0)$ на единичной окружности после совершения $k$ полных оборотов и поворота на $\pi$.
Следовательно:
$\sin((2k+1)\pi) = \sin(\pi) = 0$.
$\cos((2k+1)\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: $\sin((2k+1)\pi) = 0, \cos((2k+1)\pi) = -1$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Вычислить (960–961).

960. 1) $\sin 3\pi - \cos \frac{3\pi}{2};$

2) $\cos 0 - \cos 3\pi + \cos 3,5\pi;$

3) $\sin \pi k + \cos 2\pi k, k \in \mathbf{Z};$

4) $\cos \frac{(2k+1)\pi}{2} - \sin \frac{(4k+1)\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}.$

1) Для вычисления значения выражения $sin3\pi - cos\frac{3\pi}{2}$ найдем значения каждой из тригонометрических функций.

Функция синуса имеет период $2\pi$, поэтому $sin(3\pi) = sin(\pi + 2\pi) = sin(\pi)$. На единичной окружности углу $\pi$ соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Синус равен ординате, следовательно, $sin(\pi) = 0$.

Углу $\frac{3\pi}{2}$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Косинус равен абсциссе, следовательно, $cos\frac{3\pi}{2} = 0$.

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$sin3\pi - cos\frac{3\pi}{2} = 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0.

2) Для вычисления значения выражения $cos0 - cos3\pi + cos3,5\pi$ найдем значения каждого слагаемого.

Значение $cos0$ равно 1.

Функция косинуса имеет период $2\pi$, поэтому $cos(3\pi) = cos(\pi + 2\pi) = cos(\pi)$. Значение $cos(\pi)$ равно -1.

Представим $3,5\pi$ как $\frac{7\pi}{2}$. Учитывая периодичность косинуса, получим $cos(3,5\pi) = cos(\frac{7\pi}{2}) = cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}) = cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$cos0 - cos3\pi + cos3,5\pi = 1 - (-1) + 0 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

3) Рассмотрим выражение $sin(\pi k) + cos(2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - целое число).

Для любого целого числа $k$, значение $\pi k$ является целым кратным $\pi$. Синус любого угла, кратного $\pi$, равен нулю. Таким образом, $sin(\pi k) = 0$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Для любого целого числа $k$, значение $2\pi k$ является целым кратным $2\pi$. Косинус любого угла, кратного $2\pi$, равен единице. Таким образом, $cos(2\pi k) = 1$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Складываем полученные значения:

$sin(\pi k) + cos(2\pi k) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

4) Рассмотрим выражение $cos\frac{(2k+1)\pi}{2} - sin\frac{(4k+1)\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для любого целого числа $k$, выражение $2k+1$ представляет собой нечетное число. Таким образом, $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ представляет собой нечетное кратное $\frac{\pi}{2}$ (например, $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$). Косинус таких углов всегда равен нулю, так как они соответствуют точкам на оси OY единичной окружности. Следовательно, $cos\frac{(2k+1)\pi}{2} = 0$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $sin\frac{(4k+1)\pi}{2}$. Преобразуем аргумент синуса: $\frac{(4k+1)\pi}{2} = \frac{4k\pi + \pi}{2} = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$.

Используя периодичность синуса ($sin(x+2\pi n) = sin(x)$, где $n \in \mathbb{Z}$), получаем:

$sin(2k\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$cos\frac{(2k+1)\pi}{2} - sin\frac{(4k+1)\pi}{2} = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1.