Страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

938. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол:

1) $4\pi$;

2) $-\frac{3}{2}\pi$;

3) $-6,5\pi$;

4) $\frac{\pi}{4}$;

5) $\frac{\pi}{3}$;

6) $-45^\circ$.

Координаты $(x; y)$ точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$, находятся по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) Для угла $\alpha = 4\pi$.
Координаты точки: $x = \cos(4\pi)$, $y = \sin(4\pi)$.
Функции синуса и косинуса являются периодическими с периодом $2\pi$. Угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$). Следовательно, точка возвращается в свое начальное положение.
$x = \cos(4\pi) = \cos(0) = 1$
$y = \sin(4\pi) = \sin(0) = 0$
Координаты полученной точки: $(1; 0)$.
Ответ: $(1; 0)$.

2) Для угла $\alpha = -\frac{3}{2}\pi$.
Координаты точки: $x = \cos(-\frac{3\pi}{2})$, $y = \sin(-\frac{3\pi}{2})$.
Используем свойства четности косинуса $(\cos(-z) = \cos(z))$ и нечетности синуса $(\sin(-z) = -\sin(z))$:
$x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$
Координаты полученной точки: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

3) Для угла $\alpha = -6,5\pi$.
Координаты точки: $x = \cos(-6,5\pi)$, $y = \sin(-6,5\pi)$.
Чтобы упростить угол, можно добавить целое число полных оборотов ($2\pi$). Добавим $8\pi$ (4 оборота):
$-6,5\pi + 8\pi = 1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$.
Тогда:
$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
Координаты полученной точки: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.

4) Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Координаты точки: $x = \cos(\frac{\pi}{4})$, $y = \sin(\frac{\pi}{4})$.
Это табличные значения для угла в $45^\circ$:
$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Координаты полученной точки: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

5) Для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Координаты точки: $x = \cos(\frac{\pi}{3})$, $y = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Это табличные значения для угла в $60^\circ$:
$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Координаты полученной точки: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

6) Для угла $\alpha = -45^\circ$.
Сначала переведем градусы в радианы: $-45^\circ = -45 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{4}$ радиан.
Координаты точки: $x = \cos(-\frac{\pi}{4})$, $y = \sin(-\frac{\pi}{4})$.
Используем свойства четности и нечетности:
$x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Координаты полученной точки: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол (939-941).

939. 1) $\frac{\pi}{4}$; 2) $-\frac{\pi}{3}$; 3) $-\frac{3}{4}\pi$; 4) $\frac{4\pi}{3}$; 5) $-\frac{5}{4}\pi$; 6) $-225^\circ$

Задача состоит в том, чтобы найти на единичной окружности точку, в которую перейдет начальная точка $P_0(1; 0)$ при повороте на заданный угол $\alpha$. Координаты новой точки $P_\alpha$ определяются как $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Положительный угол означает поворот против часовой стрелки, а отрицательный — по часовой стрелке.

1) Задан угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Это положительный угол, поэтому поворот осуществляется против часовой стрелки. В градусах это $\frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$. Точка будет расположена в первой координатной четверти.
Найдем ее координаты: $x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Она является серединой дуги, соединяющей точки $(1; 0)$ и $(0; 1)$.
Ответ: Координаты точки $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) Задан угол $\alpha = -\frac{\pi}{3}$.
Это отрицательный угол, поэтому поворот осуществляется по часовой стрелке. В градусах это $-60^\circ$. Точка будет расположена в четвертой координатной четверти.
Найдем ее координаты, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $x = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: Координаты точки $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

3) Задан угол $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$.
Это отрицательный угол, поворот — по часовой стрелке. В градусах это $-135^\circ$. Точка будет расположена в третьей координатной четверти.
Найдем ее координаты: $x = \cos(-\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Она лежит на биссектрисе третьего координатного угла.
Ответ: Координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

4) Задан угол $\alpha = \frac{4\pi}{3}$.
Это положительный угол, поворот — против часовой стрелки. В градусах это $\frac{4 \cdot 180^\circ}{3} = 240^\circ$. Точка будет расположена в третьей координатной четверти.
Найдем ее координаты: $x = \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: Координаты точки $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

5) Задан угол $\alpha = -\frac{5\pi}{4}$.
Это отрицательный угол, поворот — по часовой стрелке. В градусах это $-\frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = -225^\circ$. Точка будет расположена во второй координатной четверти.
Найдем ее координаты: $x = \cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Она лежит на биссектрисе второго координатного угла.
Ответ: Координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

6) Задан угол $\alpha = -225^\circ$.
Это отрицательный угол, поворот — по часовой стрелке. Точка будет расположена во второй координатной четверти. Заметим, что $-225^\circ$ соответствует углу $-\frac{5\pi}{4}$ радиан из предыдущего пункта.
Найдем ее координаты: $x = \cos(-225^\circ) = \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-225^\circ) = -\sin(225^\circ) = -\sin(180^\circ + 45^\circ) = -(-\sin(45^\circ)) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

940. 1) $\frac{\pi}{4} \pm 2\pi;$

2) $-\frac{\pi}{4} \pm 2\pi;$

3) $\frac{2\pi}{3} \pm 6\pi;$

4) $-\frac{3\pi}{4} \pm 8\pi.$

Выражение $ \frac{\pi}{4} \pm 2\pi $ представляет собой краткую запись для множества чисел, которые в тригонометрии обычно интерпретируются как углы в радианах. Эту запись следует понимать как $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $). Знак $ \pm $ указывает на возможность прибавления или вычитания периода, что эквивалентно использованию любого целого $k$.

Данная формула описывает все углы, которые являются котерминальными с углом $ \frac{\pi}{4} $. Котерминальные углы имеют общее конечное положение на единичной окружности. Период $ 2\pi $ соответствует одному полному обороту. Прибавляя или вычитая целое число полных оборотов, мы всегда возвращаемся в исходную точку на окружности.

Например, при различных целых значениях $ k $ мы получаем следующие углы: при $ k=0 $ угол равен $ \frac{\pi}{4} $; при $ k=1 $ получаем $ \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $; при $ k=-1 $ получаем $ \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} $. Все эти углы на единичной окружности соответствуют точке в первой четверти с координатами $ (\cos\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) $.

Ответ: Выражение $ \frac{\pi}{4} \pm 2\pi $ задает множество всех углов, котерминальных углу $ \frac{\pi}{4} $. В стандартной аналитической форме это записывается как $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выражение $ -\frac{\pi}{4} \pm 2\pi $ аналогично первому пункту представляет собой множество углов, которое можно записать в виде формулы $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Эта формула описывает все углы, котерминальные с углом $ -\frac{\pi}{4} $. Угол $ -\frac{\pi}{4} $ получается отсчетом угла величиной $ \frac{\pi}{4} $ (или 45°) по часовой стрелке от положительного направления оси абсцисс. На единичной окружности этот угол находится в четвертой четверти.

Примеры углов из этого множества: при $ k=0 $ угол равен $ -\frac{\pi}{4} $; при $ k=1 $ получаем $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $ (этот угол также находится в четвертой четверти и является главным значением в промежутке $ [0, 2\pi) $); при $ k=-1 $ получаем $ -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} $. Все эти углы соответствуют точке с координатами $ (\cos(-\frac{\pi}{4}), \sin(-\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) $.

Ответ: Выражение $ -\frac{\pi}{4} \pm 2\pi $ задает множество всех углов, котерминальных углу $ -\frac{\pi}{4} $. В стандартной аналитической форме это записывается как $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выражение $ \frac{2\pi}{3} \pm 6\pi $ задает множество чисел (углов), описываемое формулой $ \frac{2\pi}{3} + 6\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В данном случае период равен $ 6\pi $, что составляет три полных оборота ($ 6\pi = 3 \times 2\pi $). Это означает, что мы берем угол $ \frac{2\pi}{3} $ и прибавляем к нему (или вычитаем из него) целое число "тройных" оборотов. Все углы этого множества являются котерминальными с углом $ \frac{2\pi}{3} $, так как период $ 6\pi $ кратен $ 2\pi $.

Примеры значений из этого множества: при $ k=0 $ получаем $ \frac{2\pi}{3} $; при $ k=1 $ получаем $ \frac{2\pi}{3} + 6\pi = \frac{20\pi}{3} $; при $ k=-1 $ получаем $ \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3} $. Все эти углы соответствуют одной и той же точке на единичной окружности, расположенной во второй четверти. Однако это множество не включает в себя *все* углы, котерминальные $ \frac{2\pi}{3} $ (например, $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi $ не принадлежит этому множеству). Такие выражения часто являются решением тригонометрических уравнений вида $ f(x/n) = c $.

Ответ: Выражение $ \frac{2\pi}{3} \pm 6\pi $ задает множество чисел, представляющее собой арифметическую прогрессию с первым членом $ \frac{2\pi}{3} $ и разностью $ 6\pi $. В виде формулы это множество записывается как $ x = \frac{2\pi}{3} + 6\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выражение $ -\frac{3\pi}{4} \pm 8\pi $ задает множество углов по формуле $ -\frac{3\pi}{4} + 8\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Здесь период равен $ 8\pi $, что соответствует четырем полным оборотам ($ 8\pi = 4 \times 2\pi $). Мы берем угол $ -\frac{3\pi}{4} $ и прибавляем к нему (или вычитаем из него) целое число "четверных" оборотов. Угол $ -\frac{3\pi}{4} $ находится в третьей четверти. Котерминальный ему угол в промежутке $ [0, 2\pi) $ равен $ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} $.

Примеры значений из этого множества: при $ k=0 $ получаем $ -\frac{3\pi}{4} $; при $ k=1 $ получаем $ -\frac{3\pi}{4} + 8\pi = \frac{29\pi}{4} $; при $ k=-1 $ получаем $ -\frac{3\pi}{4} - 8\pi = -\frac{35\pi}{4} $. Все углы из этого множества котерминальны углу $ -\frac{3\pi}{4} $, так как период $ 8\pi $ кратен $ 2\pi $. Аналогично предыдущему пункту, это множество является лишь подмножеством всех углов, котерминальных $ -\frac{3\pi}{4} $.

Ответ: Выражение $ -\frac{3\pi}{4} \pm 8\pi $ задает множество чисел, представляющее собой арифметическую прогрессию с первым членом $ -\frac{3\pi}{4} $ и разностью $ 8\pi $. В виде формулы это множество записывается как $ x = -\frac{3\pi}{4} + 8\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

941. 1) $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

2) $-\frac{3}{2}\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1)

Данное выражение $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, представляет собой бесконечное множество углов.

Для того чтобы понять, каким точкам на единичной окружности они соответствуют, рассмотрим несколько частных случаев, подставляя различные целые значения $k$:

• При $k=0$, получаем $x = \frac{3\pi}{2}$.
• При $k=1$, получаем $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2}$.
• При $k=-1$, получаем $x = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$.

Все эти углы являются котерминальными, то есть при откладывании от начального луча они указывают на одну и ту же точку на единичной окружности. Эта точка — самая нижняя точка окружности, её декартовы координаты $(0, -1)$.

Теперь определим, решением какого простейшего тригонометрического уравнения является данная серия углов.

Для точки $(0, -1)$ значения основных тригонометрических функций следующие:

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

Рассмотрим уравнение $\sin(x) = -1$. Его единственное решение на отрезке $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{3\pi}{2}$. Учитывая, что период функции $y=\sin(x)$ равен $2\pi$, общее решение уравнения записывается в виде $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Это полностью совпадает с выражением из условия.

Для сравнения, уравнение $\cos(x) = 0$ имеет общее решение $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, которое описывает две точки на окружности $(0, 1)$ и $(0, -1)$, а не одну.

Таким образом, данное выражение является записью множества всех точек минимума функции $y=\sin(x)$ или, что то же самое, множеством всех корней уравнения $\sin(x) = -1$.

Ответ: Данное выражение является множеством решений уравнения $\sin(x) = -1$.

2)

Рассмотрим выражение $x = -\frac{3}{2}\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это выражение эквивалентно записи $x = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства анализа найдем наименьший неотрицательный угол, котерминальный с углом $-\frac{3\pi}{2}$. Для этого прибавим $2\pi$ (полный оборот):

$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{-3\pi + 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, данное множество углов можно записать в более привычном виде: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Все углы этого множества соответствуют одной точке на единичной окружности — самой верхней, с декартовыми координатами $(0, 1)$.

Определим, решением какого простейшего тригонометрического уравнения является данная серия углов.

Для точки $(0, 1)$ значения основных тригонометрических функций следующие:

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Рассмотрим уравнение $\sin(x) = 1$. Его единственное решение на отрезке $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{\pi}{2}$. Так как период синуса равен $2\pi$, общее решение уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Это полностью совпадает с нашим упрощенным выражением.

Таким образом, данное выражение является записью множества всех точек максимума функции $y=\sin(x)$ или, что то же самое, множеством всех корней уравнения $\sin(x) = 1$.

Ответ: Данное выражение является множеством решений уравнения $\sin(x) = 1$.

942. Найти координаты точки, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на заданный угол:

1) $3\pi$;

2) $-\frac{7}{2}\pi$;

3) $-\frac{15}{2}\pi$;

4) $5\pi$;

5) $540^{\circ}$;

6) $810^{\circ}$.

Координаты точки, полученной поворотом точки $P(x; y)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, находятся по формулам:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

В нашем случае исходная точка $P(1; 0)$, поэтому $x = 1$ и $y = 0$. Подставив эти значения в формулы, получаем:

$x' = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y' = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, для каждого заданного угла $\alpha$ нам нужно найти значения $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$, которые и будут координатами новой точки $P'(\cos \alpha; \sin \alpha)$.

1) $3\pi$

Находим координаты для угла $\alpha = 3\pi$. Используя периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$):

$3\pi = \pi + 2\pi$

$x' = \cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1$

$y' = \sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0$

Координаты новой точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

2) $-\frac{7}{2}\pi$

Находим координаты для угла $\alpha = -\frac{7}{2}\pi$. Прибавим к углу два полных оборота ($4\pi$), чтобы получить угол в привычном диапазоне:

$\alpha' = -\frac{7}{2}\pi + 4\pi = -\frac{7\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

$x' = \cos(-\frac{7}{2}\pi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y' = \sin(-\frac{7}{2}\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты новой точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) $-\frac{15}{2}\pi$

Находим координаты для угла $\alpha = -\frac{15}{2}\pi$. Прибавим к углу четыре полных оборота ($8\pi$):

$\alpha' = -\frac{15}{2}\pi + 8\pi = -\frac{15\pi}{2} + \frac{16\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

$x' = \cos(-\frac{15}{2}\pi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y' = \sin(-\frac{15}{2}\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты новой точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

4) $5\pi$

Находим координаты для угла $\alpha = 5\pi$. Используя периодичность:

$5\pi = \pi + 4\pi = \pi + 2 \cdot (2\pi)$

$x' = \cos(5\pi) = \cos(\pi) = -1$

$y' = \sin(5\pi) = \sin(\pi) = 0$

Координаты новой точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

5) $540^\circ$

Находим координаты для угла $\alpha = 540^\circ$. Уберем полный оборот $360^\circ$:

$540^\circ = 180^\circ + 360^\circ$

$x' = \cos(540^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$

$y' = \sin(540^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$

Координаты новой точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

6) $810^\circ$

Находим координаты для угла $\alpha = 810^\circ$. Уберем два полных оборота ($2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$):

$810^\circ = 90^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ + 720^\circ$

$x' = \cos(810^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$

$y' = \sin(810^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

Координаты новой точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

943. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P(1; 0) на заданный угол ($k \in Z$):

1) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

2) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

3) $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

4) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Для нахождения координат точки, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на заданный угол $\alpha$, используется единичная окружность. Координаты новой точки $P'$ будут $(x'; y')$, где $x' = \cos(\alpha)$ и $y' = \sin(\alpha)$.

Слагаемое $2\pi k$ в каждом из углов означает целое число полных оборотов, которые не меняют конечное положение точки на окружности. Поэтому для вычислений мы можем его опустить, так как $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$ и $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$ для любого целого $k$.

1) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Пусть угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Найдем координаты новой точки $(x'; y')$:

$x' = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2})$
$y' = \sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{2})$

Используя свойства тригонометрических функций $\cos(-x) = \cos(x)$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$x' = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y' = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, координаты полученной точки (0; -1).

Ответ: $(0; -1)$

2) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Пусть угол поворота $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Найдем координаты новой точки $(x'; y')$:

$x' = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y' = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Таким образом, координаты полученной точки (0; 1).

Ответ: $(0; 1)$

3) $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Пусть угол поворота $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. Найдем координаты новой точки $(x'; y')$:

$x' = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$y' = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Таким образом, координаты полученной точки (0; -1).

Ответ: $(0; -1)$

4) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Этот случай полностью совпадает с первым пунктом. Пусть угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Координаты новой точки $(x'; y')$:

$x' = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$
$y' = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, координаты полученной точки (0; -1).

Ответ: $(0; -1)$