Номер 940, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

940. 1) $\frac{\pi}{4} \pm 2\pi;$

2) $-\frac{\pi}{4} \pm 2\pi;$

3) $\frac{2\pi}{3} \pm 6\pi;$

4) $-\frac{3\pi}{4} \pm 8\pi.$

Выражение $ \frac{\pi}{4} \pm 2\pi $ представляет собой краткую запись для множества чисел, которые в тригонометрии обычно интерпретируются как углы в радианах. Эту запись следует понимать как $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $). Знак $ \pm $ указывает на возможность прибавления или вычитания периода, что эквивалентно использованию любого целого $k$.

Данная формула описывает все углы, которые являются котерминальными с углом $ \frac{\pi}{4} $. Котерминальные углы имеют общее конечное положение на единичной окружности. Период $ 2\pi $ соответствует одному полному обороту. Прибавляя или вычитая целое число полных оборотов, мы всегда возвращаемся в исходную точку на окружности.

Например, при различных целых значениях $ k $ мы получаем следующие углы: при $ k=0 $ угол равен $ \frac{\pi}{4} $; при $ k=1 $ получаем $ \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $; при $ k=-1 $ получаем $ \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} $. Все эти углы на единичной окружности соответствуют точке в первой четверти с координатами $ (\cos\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) $.

Ответ: Выражение $ \frac{\pi}{4} \pm 2\pi $ задает множество всех углов, котерминальных углу $ \frac{\pi}{4} $. В стандартной аналитической форме это записывается как $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выражение $ -\frac{\pi}{4} \pm 2\pi $ аналогично первому пункту представляет собой множество углов, которое можно записать в виде формулы $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Эта формула описывает все углы, котерминальные с углом $ -\frac{\pi}{4} $. Угол $ -\frac{\pi}{4} $ получается отсчетом угла величиной $ \frac{\pi}{4} $ (или 45°) по часовой стрелке от положительного направления оси абсцисс. На единичной окружности этот угол находится в четвертой четверти.

Примеры углов из этого множества: при $ k=0 $ угол равен $ -\frac{\pi}{4} $; при $ k=1 $ получаем $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $ (этот угол также находится в четвертой четверти и является главным значением в промежутке $ [0, 2\pi) $); при $ k=-1 $ получаем $ -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} $. Все эти углы соответствуют точке с координатами $ (\cos(-\frac{\pi}{4}), \sin(-\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) $.

Ответ: Выражение $ -\frac{\pi}{4} \pm 2\pi $ задает множество всех углов, котерминальных углу $ -\frac{\pi}{4} $. В стандартной аналитической форме это записывается как $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выражение $ \frac{2\pi}{3} \pm 6\pi $ задает множество чисел (углов), описываемое формулой $ \frac{2\pi}{3} + 6\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В данном случае период равен $ 6\pi $, что составляет три полных оборота ($ 6\pi = 3 \times 2\pi $). Это означает, что мы берем угол $ \frac{2\pi}{3} $ и прибавляем к нему (или вычитаем из него) целое число "тройных" оборотов. Все углы этого множества являются котерминальными с углом $ \frac{2\pi}{3} $, так как период $ 6\pi $ кратен $ 2\pi $.

Примеры значений из этого множества: при $ k=0 $ получаем $ \frac{2\pi}{3} $; при $ k=1 $ получаем $ \frac{2\pi}{3} + 6\pi = \frac{20\pi}{3} $; при $ k=-1 $ получаем $ \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3} $. Все эти углы соответствуют одной и той же точке на единичной окружности, расположенной во второй четверти. Однако это множество не включает в себя *все* углы, котерминальные $ \frac{2\pi}{3} $ (например, $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi $ не принадлежит этому множеству). Такие выражения часто являются решением тригонометрических уравнений вида $ f(x/n) = c $.

Ответ: Выражение $ \frac{2\pi}{3} \pm 6\pi $ задает множество чисел, представляющее собой арифметическую прогрессию с первым членом $ \frac{2\pi}{3} $ и разностью $ 6\pi $. В виде формулы это множество записывается как $ x = \frac{2\pi}{3} + 6\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выражение $ -\frac{3\pi}{4} \pm 8\pi $ задает множество углов по формуле $ -\frac{3\pi}{4} + 8\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Здесь период равен $ 8\pi $, что соответствует четырем полным оборотам ($ 8\pi = 4 \times 2\pi $). Мы берем угол $ -\frac{3\pi}{4} $ и прибавляем к нему (или вычитаем из него) целое число "четверных" оборотов. Угол $ -\frac{3\pi}{4} $ находится в третьей четверти. Котерминальный ему угол в промежутке $ [0, 2\pi) $ равен $ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} $.

Примеры значений из этого множества: при $ k=0 $ получаем $ -\frac{3\pi}{4} $; при $ k=1 $ получаем $ -\frac{3\pi}{4} + 8\pi = \frac{29\pi}{4} $; при $ k=-1 $ получаем $ -\frac{3\pi}{4} - 8\pi = -\frac{35\pi}{4} $. Все углы из этого множества котерминальны углу $ -\frac{3\pi}{4} $, так как период $ 8\pi $ кратен $ 2\pi $. Аналогично предыдущему пункту, это множество является лишь подмножеством всех углов, котерминальных $ -\frac{3\pi}{4} $.

Ответ: Выражение $ -\frac{3\pi}{4} \pm 8\pi $ задает множество чисел, представляющее собой арифметическую прогрессию с первым членом $ -\frac{3\pi}{4} $ и разностью $ 8\pi $. В виде формулы это множество записывается как $ x = -\frac{3\pi}{4} + 8\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.