Номер 933, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

933. Заполнить таблицу.

30 22

Угол, ° 30 22

Угол, рад $\frac{\pi}{5}$

Радиус, см 2 10 5

Длина дуги, см 2 5 10

Площадь сектора, см² 50 25 50

Для заполнения таблицы будем использовать следующие формулы, связывающие угол сектора (в градусах $\alpha_{deg}$ и в радианах $\alpha_{rad}$), радиус $R$, длину дуги $L$ и площадь сектора $S$:

• Связь между градусной и радианной мерой угла: $\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}$, $\alpha_{deg} = \alpha_{rad} \cdot \frac{180}{\pi}$.
• Длина дуги: $L = R \cdot \alpha_{rad}$.
• Площадь сектора: $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{rad} = \frac{1}{2} L R$.

Решим задачу для каждого столбца.

Столбец 1

Дано: Угол, ° = 30, Радиус, см = 2.
Найти: Угол, рад; Длина дуги, см; Площадь сектора, см².

1. Находим угол в радианах:
$\alpha_{rad} = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6}$ рад.

2. Находим длину дуги:
$L = R \cdot \alpha_{rad} = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ см.

3. Находим площадь сектора:
$S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{rad} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ см².

Ответ: Угол, рад: $\frac{\pi}{6}$; Длина дуги, см: $\frac{\pi}{3}$; Площадь сектора, см²: $\frac{\pi}{3}$.

Столбец 2

Дано: Угол, рад = $\frac{\pi}{5}$, Длина дуги, см = 2.
Найти: Угол, °; Радиус, см; Площадь сектора, см².

1. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = \frac{\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$.

2. Находим радиус из формулы длины дуги $L = R \cdot \alpha_{rad}$:
$R = \frac{L}{\alpha_{rad}} = \frac{2}{\pi/5} = \frac{10}{\pi}$ см.

3. Находим площадь сектора, используя формулу $S = \frac{1}{2} L R$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{10}{\pi} = \frac{10}{\pi}$ см².

Ответ: Угол, °: 36; Радиус, см: $\frac{10}{\pi}$; Площадь сектора, см²: $\frac{10}{\pi}$.

Столбец 3

Дано: Радиус, см = 10, Длина дуги, см = 5.
Найти: Угол, °; Угол, рад; Площадь сектора, см².

1. Находим угол в радианах из формулы длины дуги $L = R \cdot \alpha_{rad}$:
$\alpha_{rad} = \frac{L}{R} = \frac{5}{10} = 0.5$ рад.

2. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = 0.5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{90^\circ}{\pi}$.

3. Находим площадь сектора:
$S = \frac{1}{2} L R = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25$ см².

Ответ: Угол, °: $\frac{90}{\pi}$; Угол, рад: 0.5; Площадь сектора, см²: 25.

Столбец 4

Дано: Радиус, см = 5, Площадь сектора, см² = 50.
Найти: Угол, °; Угол, рад; Длина дуги, см.

1. Находим угол в радианах из формулы площади сектора $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{rad}$:
$\alpha_{rad} = \frac{2S}{R^2} = \frac{2 \cdot 50}{5^2} = \frac{100}{25} = 4$ рад.

2. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = 4 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{720^\circ}{\pi}$.

3. Находим длину дуги из формулы $S = \frac{1}{2} L R$:
$L = \frac{2S}{R} = \frac{2 \cdot 50}{5} = \frac{100}{5} = 20$ см.

Ответ: Угол, °: $\frac{720}{\pi}$; Угол, рад: 4; Длина дуги, см: 20.

Столбец 5

Дано: Угол, рад = 22, Площадь сектора, см² = 25.
Найти: Угол, °; Радиус, см; Длина дуги, см.

1. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = 22 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3960^\circ}{\pi}$.

2. Находим радиус из формулы площади сектора $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{rad}$:
$R^2 = \frac{2S}{\alpha_{rad}} = \frac{2 \cdot 25}{22} = \frac{50}{22} = \frac{25}{11}$.
$R = \sqrt{\frac{25}{11}} = \frac{5}{\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{11}}{11}$ см.

3. Находим длину дуги:
$L = R \cdot \alpha_{rad} = \frac{5\sqrt{11}}{11} \cdot 22 = 5\sqrt{11} \cdot 2 = 10\sqrt{11}$ см.

Ответ: Угол, °: $\frac{3960}{\pi}$; Радиус, см: $\frac{5\sqrt{11}}{11}$; Длина дуги, см: $10\sqrt{11}$.

Столбец 6

Дано: Длина дуги, см = 10, Площадь сектора, см² = 50.
Найти: Угол, °; Угол, рад; Радиус, см.

1. Находим радиус из формулы $S = \frac{1}{2} L R$:
$R = \frac{2S}{L} = \frac{2 \cdot 50}{10} = \frac{100}{10} = 10$ см.

2. Находим угол в радианах из формулы $L = R \cdot \alpha_{rad}$:
$\alpha_{rad} = \frac{L}{R} = \frac{10}{10} = 1$ рад.

3. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = 1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

Ответ: Угол, °: $\frac{180}{\pi}$; Угол, рад: 1; Радиус, см: 10.