Номер 937, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава VIII. Тригонометрические формулы. §1. Радианная мера угла - номер 937, страница 275.

Условие.

937. Углы треугольника относятся между собой как 1 : 3 : 5.

Выразить углы этого треугольника:

1) в долях прямого угла ($d$);

2) в градусах;

3) в радианах.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, их величины относятся как $1:3:5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда углы можно записать как:

$\alpha = 1 \cdot x = x$

$\beta = 3 \cdot x = 3x$

$\gamma = 5 \cdot x = 5x$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 3x + 5x = 180^\circ$

$9x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$

Теперь мы можем найти точные значения каждого угла в градусах:

$\alpha = x = 20^\circ$

$\beta = 3x = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$

$\gamma = 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Проверка: $20^\circ + 60^\circ + 100^\circ = 180^\circ$.

Теперь выразим эти углы в требуемых единицах.

1) в долях прямого угла (d)

Прямой угол равен $90^\circ$ и обозначается как $1d$. Чтобы выразить угол в долях прямого угла, нужно его градусную меру разделить на $90^\circ$.

Для угла $\alpha = 20^\circ$: $\frac{20^\circ}{90^\circ}d = \frac{2}{9}d$

Для угла $\beta = 60^\circ$: $\frac{60^\circ}{90^\circ}d = \frac{6}{9}d = \frac{2}{3}d$

Для угла $\gamma = 100^\circ$: $\frac{100^\circ}{90^\circ}d = \frac{10}{9}d = 1\frac{1}{9}d$

Ответ: $\frac{2}{9}d$, $\frac{2}{3}d$, $1\frac{1}{9}d$.

2) в градусах

Как мы уже вычислили ранее, углы треугольника равны:

$\alpha = 20^\circ$

$\beta = 60^\circ$

$\gamma = 100^\circ$

Ответ: $20^\circ$, $60^\circ$, $100^\circ$.

3) в радианах

Для перевода градусов в радианы используется формула: Угол (рад) = Угол ($^\circ$) $\cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

Для угла $\alpha = 20^\circ$: $20^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{20\pi}{180} = \frac{\pi}{9}$ радиан

Для угла $\beta = 60^\circ$: $60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан

Для угла $\gamma = 100^\circ$: $100^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{100\pi}{180} = \frac{5\pi}{9}$ радиан

Ответ: $\frac{\pi}{9}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{9}$.