Страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

932. Заполнить таблицу.

Градусы: 0,5, 36, 159, 108, , , ,

Радианы: , , , , $5\pi/4$, $3\pi/10$, 2,5, 1,8

Для заполнения таблицы необходимо использовать формулы перевода угловых мер. Соотношение между градусами и радианами следующее: $180^{\circ} = \pi$ радиан.

• Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить значение в градусах на $ \frac{\pi}{180} $.
• Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить значение в радианах на $ \frac{180}{\pi} $.

Переведем градусы в радианы для пустых ячеек.

Для 0,5°

Умножаем 0,5 на $ \frac{\pi}{180} $: $ 0,5 \times \frac{\pi}{180} = \frac{0,5\pi}{180} = \frac{1\pi}{2 \times 180} = \frac{\pi}{360} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{360} $

Для 36°

Умножаем 36 на $ \frac{\pi}{180} $: $ 36 \times \frac{\pi}{180} = \frac{36\pi}{180} $. Сокращаем дробь на 36: $ \frac{\pi}{5} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{5} $

Для 159°

Умножаем 159 на $ \frac{\pi}{180} $: $ 159 \times \frac{\pi}{180} = \frac{159\pi}{180} $. Сокращаем дробь на 3: $ \frac{53\pi}{60} $.
Ответ: $ \frac{53\pi}{60} $

Для 108°

Умножаем 108 на $ \frac{\pi}{180} $: $ 108 \times \frac{\pi}{180} = \frac{108\pi}{180} $. Сокращаем дробь на 36: $ \frac{3\pi}{5} $.
Ответ: $ \frac{3\pi}{5} $

Теперь переведем радианы в градусы.

Для $ \frac{5\pi}{4} $

Умножаем $ \frac{5\pi}{4} $ на $ \frac{180}{\pi} $: $ \frac{5\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{5 \times 180}{4} = 5 \times 45 = 225 $.
Ответ: 225

Для $ \frac{3\pi}{10} $

Умножаем $ \frac{3\pi}{10} $ на $ \frac{180}{\pi} $: $ \frac{3\pi}{10} \times \frac{180}{\pi} = \frac{3 \times 180}{10} = 3 \times 18 = 54 $.
Ответ: 54

Для 2,5

Умножаем 2,5 на $ \frac{180}{\pi} $: $ 2,5 \times \frac{180}{\pi} = \frac{450}{\pi} $.
Ответ: $ \frac{450}{\pi} $

Для 1,8

Умножаем 1,8 на $ \frac{180}{\pi} $: $ 1,8 \times \frac{180}{\pi} = \frac{324}{\pi} $.
Ответ: $ \frac{324}{\pi} $

Итоговая заполненная таблица:

933. Заполнить таблицу.

30 22

Угол, ° 30 22

Угол, рад $\frac{\pi}{5}$

Радиус, см 2 10 5

Длина дуги, см 2 5 10

Площадь сектора, см² 50 25 50

Для заполнения таблицы будем использовать следующие формулы, связывающие угол сектора (в градусах $\alpha_{deg}$ и в радианах $\alpha_{rad}$), радиус $R$, длину дуги $L$ и площадь сектора $S$:

• Связь между градусной и радианной мерой угла: $\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}$, $\alpha_{deg} = \alpha_{rad} \cdot \frac{180}{\pi}$.
• Длина дуги: $L = R \cdot \alpha_{rad}$.
• Площадь сектора: $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{rad} = \frac{1}{2} L R$.

Решим задачу для каждого столбца.

Столбец 1

Дано: Угол, ° = 30, Радиус, см = 2.
Найти: Угол, рад; Длина дуги, см; Площадь сектора, см².

1. Находим угол в радианах:
$\alpha_{rad} = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6}$ рад.

2. Находим длину дуги:
$L = R \cdot \alpha_{rad} = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ см.

3. Находим площадь сектора:
$S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{rad} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ см².

Ответ: Угол, рад: $\frac{\pi}{6}$; Длина дуги, см: $\frac{\pi}{3}$; Площадь сектора, см²: $\frac{\pi}{3}$.

Столбец 2

Дано: Угол, рад = $\frac{\pi}{5}$, Длина дуги, см = 2.
Найти: Угол, °; Радиус, см; Площадь сектора, см².

1. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = \frac{\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$.

2. Находим радиус из формулы длины дуги $L = R \cdot \alpha_{rad}$:
$R = \frac{L}{\alpha_{rad}} = \frac{2}{\pi/5} = \frac{10}{\pi}$ см.

3. Находим площадь сектора, используя формулу $S = \frac{1}{2} L R$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{10}{\pi} = \frac{10}{\pi}$ см².

Ответ: Угол, °: 36; Радиус, см: $\frac{10}{\pi}$; Площадь сектора, см²: $\frac{10}{\pi}$.

Столбец 3

Дано: Радиус, см = 10, Длина дуги, см = 5.
Найти: Угол, °; Угол, рад; Площадь сектора, см².

1. Находим угол в радианах из формулы длины дуги $L = R \cdot \alpha_{rad}$:
$\alpha_{rad} = \frac{L}{R} = \frac{5}{10} = 0.5$ рад.

2. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = 0.5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{90^\circ}{\pi}$.

3. Находим площадь сектора:
$S = \frac{1}{2} L R = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25$ см².

Ответ: Угол, °: $\frac{90}{\pi}$; Угол, рад: 0.5; Площадь сектора, см²: 25.

Столбец 4

Дано: Радиус, см = 5, Площадь сектора, см² = 50.
Найти: Угол, °; Угол, рад; Длина дуги, см.

1. Находим угол в радианах из формулы площади сектора $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{rad}$:
$\alpha_{rad} = \frac{2S}{R^2} = \frac{2 \cdot 50}{5^2} = \frac{100}{25} = 4$ рад.

2. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = 4 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{720^\circ}{\pi}$.

3. Находим длину дуги из формулы $S = \frac{1}{2} L R$:
$L = \frac{2S}{R} = \frac{2 \cdot 50}{5} = \frac{100}{5} = 20$ см.

Ответ: Угол, °: $\frac{720}{\pi}$; Угол, рад: 4; Длина дуги, см: 20.

Столбец 5

Дано: Угол, рад = 22, Площадь сектора, см² = 25.
Найти: Угол, °; Радиус, см; Длина дуги, см.

1. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = 22 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3960^\circ}{\pi}$.

2. Находим радиус из формулы площади сектора $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha_{rad}$:
$R^2 = \frac{2S}{\alpha_{rad}} = \frac{2 \cdot 25}{22} = \frac{50}{22} = \frac{25}{11}$.
$R = \sqrt{\frac{25}{11}} = \frac{5}{\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{11}}{11}$ см.

3. Находим длину дуги:
$L = R \cdot \alpha_{rad} = \frac{5\sqrt{11}}{11} \cdot 22 = 5\sqrt{11} \cdot 2 = 10\sqrt{11}$ см.

Ответ: Угол, °: $\frac{3960}{\pi}$; Радиус, см: $\frac{5\sqrt{11}}{11}$; Длина дуги, см: $10\sqrt{11}$.

Столбец 6

Дано: Длина дуги, см = 10, Площадь сектора, см² = 50.
Найти: Угол, °; Угол, рад; Радиус, см.

1. Находим радиус из формулы $S = \frac{1}{2} L R$:
$R = \frac{2S}{L} = \frac{2 \cdot 50}{10} = \frac{100}{10} = 10$ см.

2. Находим угол в радианах из формулы $L = R \cdot \alpha_{rad}$:
$\alpha_{rad} = \frac{L}{R} = \frac{10}{10} = 1$ рад.

3. Находим угол в градусах:
$\alpha_{deg} = 1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

Ответ: Угол, °: $\frac{180}{\pi}$; Угол, рад: 1; Радиус, см: 10.

934. Выразить в радианах дополнение угла, равно $132^\circ$, до полного.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти дополнение заданного угла до полного угла в градусах, а затем перевести полученное значение в радианы.

1. Полный угол составляет $360^\circ$. Найдем дополнение угла $132^\circ$ до полного. Для этого вычтем из полного угла заданный угол:

$360^\circ - 132^\circ = 228^\circ$

Таким образом, искомый угол равен $228^\circ$.

2. Теперь выразим этот угол в радианах. Для перевода градусов в радианы используется формула, связывающая эти две меры: $180^\circ = \pi$ радиан. Отсюда следует формула для перевода:

$\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$

Подставим значение нашего угла в градусах:

$228^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{228\pi}{180}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 228 и 180 равен 12.

$\frac{228 \div 12}{180 \div 12} = \frac{19}{15}$

Следовательно, дополнение угла в радианах равно $\frac{19\pi}{15}$.

Ответ: $\frac{19\pi}{15}$ радиан.

935. Записать градусные и радианные меры углов:

1) правильного шестиугольника;

2) правильного двенадцатиугольника.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника используется формула, согласно которой сумма всех внутренних углов равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Так как в правильном многоугольнике все углы равны, то величина одного угла $\alpha$ вычисляется как:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

Для перевода градусной меры в радианную используется соотношение $180^\circ = \pi$ радиан.

1) правильного шестиугольника

Для правильного шестиугольника количество сторон $n = 6$.

Вычислим градусную меру его внутреннего угла:

$\alpha = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Теперь переведем градусную меру в радианную:

$120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Ответ: $120^\circ$; $\frac{2\pi}{3}$ радиан.

2) правильного двенадцатиугольника

Для правильного двенадцатиугольника количество сторон $n = 12$.

Вычислим градусную меру его внутреннего угла:

$\alpha = \frac{(12-2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ$.

Теперь переведем градусную меру в радианную:

$150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{15\pi}{18} = \frac{5\pi}{6}$ радиан.

Ответ: $150^\circ$; $\frac{5\pi}{6}$ радиан.

936. В равнобедренном треугольнике угол при вершине в 2,5 раза меньше угла при основании. Выразить углы треугольника в градусной и радианной мерах.

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен $ \alpha $. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то в треугольнике есть два угла, равных $ \alpha $.

Пусть угол при вершине, противолежащей основанию, равен $ \beta $. Согласно условию задачи, угол при вершине в 2,5 раза меньше угла при основании. Это можно записать в виде формулы:

$ \beta = \frac{\alpha}{2.5} $

Сумма углов в любом треугольнике составляет $ 180^\circ $. Для нашего треугольника это означает:

$ \alpha + \alpha + \beta = 180^\circ $

$ 2\alpha + \beta = 180^\circ $

Теперь подставим выражение для $ \beta $ из первого уравнения во второе:

$ 2\alpha + \frac{\alpha}{2.5} = 180^\circ $

Чтобы решить это уравнение, избавимся от дроби. Представим 2,5 как обыкновенную дробь $ 2.5 = \frac{5}{2} $:

$ 2\alpha + \frac{\alpha}{\frac{5}{2}} = 180^\circ $

$ 2\alpha + \frac{2\alpha}{5} = 180^\circ $

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{10\alpha}{5} + \frac{2\alpha}{5} = 180^\circ $

$ \frac{12\alpha}{5} = 180^\circ $

Теперь найдем $ \alpha $:

$ 12\alpha = 180^\circ \cdot 5 $

$ 12\alpha = 900^\circ $

$ \alpha = \frac{900^\circ}{12} = 75^\circ $

Итак, каждый из углов при основании равен $ 75^\circ $.

Теперь найдем угол при вершине $ \beta $:

$ \beta = \frac{\alpha}{2.5} = \frac{75^\circ}{2.5} = 30^\circ $

Проверим: сумма углов $ 75^\circ + 75^\circ + 30^\circ = 180^\circ $. Условие выполняется.

Таким образом, углы треугольника в градусной мере равны $ 75^\circ, 75^\circ $ и $ 30^\circ $.

Далее выразим эти углы в радианной мере. Для перевода градусов в радианы используется формула:

$ \text{радианы} = \text{градусы} \cdot \frac{\pi}{180} $

Переведем угол $ 75^\circ $:

$ 75^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{75\pi}{180} = \frac{5 \cdot 15 \cdot \pi}{12 \cdot 15} = \frac{5\pi}{12} $

Переведем угол $ 30^\circ $:

$ 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} $

Таким образом, углы треугольника в радианной мере равны $ \frac{5\pi}{12} $, $ \frac{5\pi}{12} $ и $ \frac{\pi}{6} $.

Ответ: углы треугольника в градусной мере: $ 75^\circ, 75^\circ, 30^\circ $; углы треугольника в радианной мере: $ \frac{5\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{6} $.

937. Углы треугольника относятся между собой как 1 : 3 : 5.

Выразить углы этого треугольника:

1) в долях прямого угла ($d$);

2) в градусах;

3) в радианах.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, их величины относятся как $1:3:5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда углы можно записать как:

$\alpha = 1 \cdot x = x$

$\beta = 3 \cdot x = 3x$

$\gamma = 5 \cdot x = 5x$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 3x + 5x = 180^\circ$

$9x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$

Теперь мы можем найти точные значения каждого угла в градусах:

$\alpha = x = 20^\circ$

$\beta = 3x = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$

$\gamma = 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Проверка: $20^\circ + 60^\circ + 100^\circ = 180^\circ$.

Теперь выразим эти углы в требуемых единицах.

1) в долях прямого угла (d)

Прямой угол равен $90^\circ$ и обозначается как $1d$. Чтобы выразить угол в долях прямого угла, нужно его градусную меру разделить на $90^\circ$.

Для угла $\alpha = 20^\circ$: $\frac{20^\circ}{90^\circ}d = \frac{2}{9}d$

Для угла $\beta = 60^\circ$: $\frac{60^\circ}{90^\circ}d = \frac{6}{9}d = \frac{2}{3}d$

Для угла $\gamma = 100^\circ$: $\frac{100^\circ}{90^\circ}d = \frac{10}{9}d = 1\frac{1}{9}d$

Ответ: $\frac{2}{9}d$, $\frac{2}{3}d$, $1\frac{1}{9}d$.

2) в градусах

Как мы уже вычислили ранее, углы треугольника равны:

$\alpha = 20^\circ$

$\beta = 60^\circ$

$\gamma = 100^\circ$

Ответ: $20^\circ$, $60^\circ$, $100^\circ$.

3) в радианах

Для перевода градусов в радианы используется формула: Угол (рад) = Угол ($^\circ$) $\cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

Для угла $\alpha = 20^\circ$: $20^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{20\pi}{180} = \frac{\pi}{9}$ радиан

Для угла $\beta = 60^\circ$: $60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан

Для угла $\gamma = 100^\circ$: $100^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{100\pi}{180} = \frac{5\pi}{9}$ радиан

Ответ: $\frac{\pi}{9}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{9}$.