Страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

1) $\log_4 64$;

2) $\lg 0,01$;

3) $2^{\log_2 6}$;

4) $3^{2 \log_3 5}$;

5) $\log_2 68 - \log_2 17$.

1) Чтобы вычислить $ \log_4 64 $, нужно найти степень, в которую необходимо возвести основание 4, чтобы получить число 64. Пусть $ \log_4 64 = x $. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $ 4^x = 64 $. Представим число 64 в виде степени с основанием 4: $ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $. Таким образом, $ 4^x = 4^3 $, откуда следует, что $ x = 3 $.
Ответ: 3

2) Выражение $ \lg 0,01 $ — это десятичный логарифм числа 0,01, то есть логарифм по основанию 10. Запишем это как $ \log_{10} 0,01 $. Пусть $ \log_{10} 0,01 = x $. По определению логарифма, $ 10^x = 0,01 $. Представим число 0,01 в виде степени с основанием 10. Мы знаем, что $ 0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2} $. Значит, $ 10^x = 10^{-2} $, откуда $ x = -2 $.
Ответ: -2

3) Для вычисления выражения $ 2^{\log_2 6} $ применяется основное логарифмическое тождество: $ a^{\log_a b} = b $. В данном случае основание степени $ a = 2 $ совпадает с основанием логарифма в показателе, а число под знаком логарифма $ b = 6 $. Применяя тождество, получаем: $ 2^{\log_2 6} = 6 $.
Ответ: 6

4) В выражении $ 3^{2\log_3 5} $ сначала преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма: $ n \cdot \log_a b = \log_a (b^n) $. Применим это свойство к показателю $ 2\log_3 5 $: $ 2\log_3 5 = \log_3 (5^2) = \log_3 25 $. Теперь исходное выражение принимает вид $ 3^{\log_3 25} $. Далее, используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, получаем $ 3^{\log_3 25} = 25 $.
Ответ: 25

5) Для вычисления выражения $ \log_2 68 - \log_2 17 $ используется свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right) $. Применим это свойство: $ \log_2 68 - \log_2 17 = \log_2\left(\frac{68}{17}\right) $. Вычислим частное: $ \frac{68}{17} = 4 $. Теперь выражение упростилось до $ \log_2 4 $. Чтобы найти значение этого логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 4? Так как $ 2^2 = 4 $, то $ \log_2 4 = 2 $.
Ответ: 2

2. Построить схематически график функции:

1) $y = \log_{0,3} x;$

2) $y = \log_4 x.$

1) Для построения схематического графика функции $y = \log_{0.3} x$ проанализируем её свойства. Это логарифмическая функция вида $y = \log_a x$ с основанием $a = 0.3$.

Основные свойства:

Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Монотонность: Так как основание $a = 0.3$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Асимптота: График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$). При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).

Ключевые точки:

График любой логарифмической функции $y = \log_a x$ проходит через точку $(1, 0)$, так как $a^0=1$, то есть $\log_{0.3} 1 = 0$.

Найдем еще несколько точек для более точного построения:

при $x=0.3$, $y = \log_{0.3} 0.3 = 1$. Точка $(0.3, 1)$.

при $x = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$, $y = \log_{0.3} (\frac{1}{0.3}) = -1$. Точка $(\frac{10}{3}, -1)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая расположена в I и IV координатных четвертях. Она приближается к оси $Oy$ сверху (при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$), пересекает ось $Ox$ в точке $(1,0)$ и далее плавно убывает, проходя через точку $(\frac{10}{3}, -1)$, стремясь к $-\infty$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Схематический график функции $y = \log_{0.3} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(1,0)$, расположенная в правой полуплоскости ($x>0$) и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$, к которой график стремится вверх.

2) Для построения схематического графика функции $y = \log_{4} x$ проанализируем её свойства. Это логарифмическая функция вида $y = \log_a x$ с основанием $a = 4$.

Основные свойства:

Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Монотонность: Так как основание $a = 4$ удовлетворяет условию $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Асимптота: График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$). При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к минус бесконечности ($y \to -\infty$).

Ключевые точки:

График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{4} 1 = 0$.

Найдем еще несколько точек для более точного построения:

при $x=4$, $y = \log_{4} 4 = 1$. Точка $(4, 1)$.

при $x=16$, $y = \log_{4} 16 = \log_{4} 4^2 = 2$. Точка $(16, 2)$.

при $x=1/4 = 0.25$, $y = \log_{4} (1/4) = -1$. Точка $(0.25, -1)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая расположена в I и IV координатных четвертях. Она приближается к оси $Oy$ снизу (при $x \to 0^+$, $y \to -\infty$), пересекает ось $Ox$ в точке $(1,0)$ и далее плавно возрастает, проходя через точки $(4, 1)$ и $(16, 2)$, стремясь к $+\infty$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Схематический график функции $y = \log_{4} x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1,0)$, расположенная в правой полуплоскости ($x>0$) и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$, к которой график стремится вниз.

3. Сравнить числа:

1) $\log_{0.2} 8$ и $\log_{0.2} 7.5$;

2) $\log_5 0.8$ и $\log_5 1.3$.

1) Сравнить $\log_{0,2} 8$ и $\log_{0,2} 7,5$

Для сравнения этих чисел мы будем использовать свойства логарифмической функции $y = \log_a x$. Характер монотонности этой функции (возрастание или убывание) зависит от ее основания $a$.

В данном случае основание логарифма $a = 0,2$.

Так как основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$ (поскольку $0 < 0,2 < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{0,2} x$ является убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $\log_{0,2} x_1 < \log_{0,2} x_2$.

Сравним аргументы данных нам логарифмов: $8$ и $7,5$. Очевидно, что $8 > 7,5$.

Поскольку функция убывающая, знак неравенства для значений логарифмов меняется на противоположный. Следовательно, $\log_{0,2} 8 < \log_{0,2} 7,5$.

Ответ: $\log_{0,2} 8 < \log_{0,2} 7,5$.

2) Сравнить $\log_5 0,8$ и $\log_5 1,3$

В этом случае мы также используем свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

Основание логарифма здесь $a = 5$.

Так как основание $a > 1$ (поскольку $5 > 1$), логарифмическая функция $y = \log_5 x$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $\log_5 x_1 > \log_5 x_2$.

Сравним аргументы данных нам логарифмов: $0,8$ и $1,3$. Очевидно, что $0,8 < 1,3$.

Поскольку функция возрастающая, знак неравенства для значений логарифмов сохраняется. Следовательно, $\log_5 0,8 < \log_5 1,3$.

Ответ: $\log_5 0,8 < \log_5 1,3$.

4. Решить уравнение:

1) $ \log_4 (3x + 1) = 2 $;

2) $ \log_3 (x + 2) + \log_3 x = 1 $;

3) $ \lg (x^2 - 6x + 9) = \lg 3 + \lg (x + 3) $.

1) Дано уравнение $log_4(3x+1)=2$.
Согласно определению логарифма ($log_a(b)=c \Leftrightarrow a^c=b$), уравнение равносильно следующему:
$3x+1 = 4^2$
$3x+1 = 16$
$3x = 16 - 1$
$3x = 15$
$x = 5$
Необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
$3x+1 > 0$
$3x > -1$
$x > -1/3$
Найденный корень $x=5$ удовлетворяет условию $5 > -1/3$, следовательно, он является решением уравнения.
Ответ: 5

2) Дано уравнение $log_3(x+2)+log_3x=1$.
Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x+2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \end{cases} $
Общим решением системы неравенств является $x > 0$.
Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $log_a(b)+log_a(c)=log_a(bc)$:
$log_3((x+2)x) = 1$
$log_3(x^2+2x) = 1$
По определению логарифма:
$x^2+2x = 3^1$
$x^2+2x-3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = -3$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x>0$):
- $x_1=1$ удовлетворяет условию $1 > 0$.
- $x_2=-3$ не удовлетворяет условию $-3 > 0$, значит, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1

3) Дано уравнение $lg(x^2-6x+9) = lg(3) + lg(x+3)$.
ОДЗ определяется системой неравенств:
$ \begin{cases} x^2-6x+9 > 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2-6x+9$ - это полный квадрат $(x-3)^2$. Неравенство $(x-3)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=3$.
Решим второе неравенство: $x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > -3$ и $x \neq 3$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов:
$lg(x^2-6x+9) = lg(3(x+3))$
Поскольку основания логарифмов равны (десятичный логарифм, основание 10), можно приравнять их аргументы:
$x^2-6x+9 = 3(x+3)$
$x^2-6x+9 = 3x+9$
$x^2-6x-3x+9-9 = 0$
$x^2-9x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-9) = 0$
Получаем два корня:
$x_1=0$ или $x_2=9$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -3$ и $x \neq 3$):
- $x_1=0$: удовлетворяет условиям ($0 > -3$ и $0 \neq 3$).
- $x_2=9$: удовлетворяет условиям ($9 > -3$ и $9 \neq 3$).
Оба корня подходят.
Ответ: 0; 9

5. Решить систему уравнений $ \begin{cases} \ln x - \ln y = \ln 5, \\ x - 3y = 4. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \ln x - \ln y = \ln 5, \\ x - 3y = 4. \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных. Аргументы натурального логарифма должны быть строго положительными, поэтому из первого уравнения системы следует, что $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\ln a - \ln b = \ln(\frac{a}{b})$:

$\ln(\frac{x}{y}) = \ln 5$

Так как логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$\frac{x}{y} = 5$

Из этого соотношения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 5y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы $x - 3y = 4$:

$5y - 3y = 4$

Решим полученное линейное уравнение относительно $y$:

$2y = 4$

$y = \frac{4}{2} = 2$

Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y=2$ в выражение $x = 5y$:

$x = 5 \cdot 2 = 10$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(10; 2)$.

Выполним проверку.
1. Проверим, что найденные значения удовлетворяют ОДЗ: $x = 10 > 0$ и $y = 2 > 0$. Условия выполнены.
2. Подставим значения $x=10$ и $y=2$ в исходные уравнения:
- Для первого уравнения: $\ln(10) - \ln(2) = \ln(\frac{10}{2}) = \ln 5$. Равенство выполняется.
- Для второго уравнения: $10 - 3(2) = 10 - 6 = 4$. Равенство выполняется.

Ответ: $(10; 2)$.

6. Решить неравенство:

1) $\log_2 (x - 1) \leq 3;$

2) $\log_{\frac{1}{5}} (2 - x) > -1.$

1) $\log_2 (x - 1) \le 3$

Решение логарифмического неравенства состоит из двух основных шагов: определение Области Допустимых Значений (ОДЗ) и решение самого неравенства с учетом свойств логарифмической функции.

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$x - 1 > 0$
$x > 1$

2. Решение неравенства: Преобразуем правую часть неравенства так, чтобы получить логарифм с тем же основанием, что и в левой части.
$3 = \log_2 (2^3) = \log_2 8$
Неравенство принимает вид:
$\log_2 (x - 1) \le \log_2 8$

Основание логарифма $a=2 > 1$, поэтому логарифмическая функция $y=\log_2(t)$ является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
$x - 1 \le 8$
$x \le 9$

3. Итоговое решение: Найдем пересечение множеств, полученных из ОДЗ ($x > 1$) и решения неравенства ($x \le 9$). Объединяя эти условия, получаем: $1 < x \le 9$.

Ответ: $x \in (1, 9]$.

2) $\log_{\frac{1}{5}} (2 - x) > -1$

Решаем аналогично предыдущему пункту.

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$2 - x > 0$
$x < 2$

2. Решение неравенства: Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{5}$.
$-1 = \log_{\frac{1}{5}} ((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{\frac{1}{5}} 5$
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{5}} (2 - x) > \log_{\frac{1}{5}} 5$

Основание логарифма $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция $y=\log_{\frac{1}{5}}(t)$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$2 - x < 5$
$-x < 3$
$x > -3$

3. Итоговое решение: Найдем пересечение множеств, полученных из ОДЗ ($x < 2$) и решения неравенства ($x > -3$). Объединяя эти условия, получаем: $-3 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-3, 2)$.

1. Выяснить, при каких значениях m имеет смысл выражение:

1) $\log_2 (m-1)$;

2) $\log_{m+1} 3$;

3) $\log_m (m-1)$.

Для того чтобы логарифмическое выражение $\log_a b$ имело смысл (было определено), должны выполняться следующие три условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $b > 0$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $a > 0$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \ne 1$.

Применим эти правила к каждому из данных выражений.

1) $\log_2 (m-1)$

В этом выражении основание $a=2$. Проверим условия для основания:

• $2 > 0$ (верно)
• $2 \ne 1$ (верно)

Условия для основания выполняются. Теперь рассмотрим условие для аргумента. Аргумент $b = m-1$. Он должен быть строго положительным:

$m - 1 > 0$

Решим это простое неравенство:

$m > 1$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $m$, больших 1.

Ответ: $m > 1$, или в виде интервала $m \in (1; +\infty)$.

2) $\log_{m+1} 3$

В этом выражении аргумент $b=3$. Проверим условие для аргумента:

• $3 > 0$ (верно)

Условие для аргумента выполняется. Теперь рассмотрим условия для основания. Основание $a = m+1$. На него накладываются два условия:

1. Основание должно быть положительным: $m+1 > 0$. Отсюда $m > -1$.

2. Основание не должно быть равно единице: $m+1 \ne 1$. Отсюда $m \ne 0$.

Мы должны удовлетворить обоим этим условиям одновременно. Это значит, что $m$ должно быть больше $-1$, но при этом не равняться $0$. Объединяя эти условия, получаем два интервала.

Ответ: $m \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $\log_m (m-1)$

В этом выражении и основание, и аргумент зависят от переменной $m$.

Основание $a = m$, аргумент $b = m-1$.

Запишем все три условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases} m-1 > 0 & \text{(аргумент больше нуля)} \\ m > 0 & \text{(основание больше нуля)} \\ m \ne 1 & \text{(основание не равно единице)} \end{cases}$

Решим эту систему:

1. Из первого неравенства $m-1 > 0$ получаем $m > 1$.

2. Второе неравенство: $m > 0$.

3. Третье условие: $m \ne 1$.

Теперь найдем пересечение этих трех условий. Условие $m > 1$ является самым сильным. Если $m > 1$, то условие $m > 0$ выполняется автоматически. Также, если $m$ строго больше 1, то оно не может быть равно 1, так что условие $m \ne 1$ также выполняется автоматически. Следовательно, решением системы является неравенство $m > 1$.

Ответ: $m > 1$, или в виде интервала $m \in (1; +\infty)$.

2. Решить графически уравнение $\log_2 x = 3 - x$.

Чтобы решить уравнение $\log_2 x = 3 - x$ графическим методом, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 3 - x$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков и будет являться решением исходного уравнения.

Построим график функции $y_1 = \log_2 x$. Это стандартная логарифмическая функция. Ее область определения $x > 0$. График возрастает на всей области определения, так как основание $2 > 1$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. Вычислим координаты нескольких ключевых точек: если $x = 1$, то $y_1 = \log_2 1 = 0$ (точка $(1, 0)$); если $x = 2$, то $y_1 = \log_2 2 = 1$ (точка $(2, 1)$); если $x = 4$, то $y_1 = \log_2 4 = 2$ (точка $(4, 2)$).

Теперь построим график функции $y_2 = 3 - x$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их: если $x = 0$, то $y_2 = 3 - 0 = 3$ (точка $(0, 3)$); если $x = 3$, то $y_2 = 3 - 3 = 0$ (точка $(3, 0)$).

Совместим оба графика на одной координатной плоскости.

Из построения видно, что графики пересекаются в одной точке. По вычисленным ранее значениям, мы можем определить точные координаты этой точки. Точка $(2, 1)$ принадлежит обоим графикам, так как $y_1(2) = \log_2 2 = 1$ и $y_2(2) = 3 - 2 = 1$.

Поскольку функция $y_1 = \log_2 x$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$), а функция $y_2 = 3 - x$ является монотонно убывающей, их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Так как мы нашли эту единственную точку пересечения $(2, 1)$, то ее абсцисса $x = 2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = 2$.

3. Вычислить $25^{\log_5 4} - 10^{2 - \lg 25} + 2^{3 \log_2 3}$

Для вычисления значения выражения $25^{\log_5 4} - 10^{2-\lg 25} + 2^{3\log_2 3}$ необходимо упростить каждый член выражения по отдельности.

1. Упростим первый член $25^{\log_5 4}$.
Представим основание 25 как степень 5, то есть $25 = 5^2$.
Тогда выражение примет вид: $(5^2)^{\log_5 4}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $5^{2 \cdot \log_5 4}$.
Далее, по свойству логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, внесем множитель 2 под знак логарифма как показатель степени: $5^{\log_5 (4^2)} = 5^{\log_5 16}$.
Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, итоговое значение первого члена равно 16.

2. Упростим второй член $10^{2-\lg 25}$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем выражение: $\frac{10^2}{10^{\lg 25}}$.
Напомним, что $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.
В числителе $10^2 = 100$.
В знаменателе, по основному логарифмическому тождеству, $10^{\lg 25} = 10^{\log_{10} 25} = 25$.
Таким образом, значение второго члена равно $\frac{100}{25} = 4$.

3. Упростим третий член $2^{3\log_2 3}$.
Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, получим: $2^{\log_2 (3^3)}$.
Вычислим степень: $3^3 = 27$. Выражение станет $2^{\log_2 27}$.
По основному логарифмическому тождеству, значение третьего члена равно 27.

4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$16 - 4 + 27 = 12 + 27 = 39$.

Ответ: $39$

4. Решить уравнение:

1) $ \log_{2x+2} (2x^2 - 8x + 6) = 2; $

2) $ (\log_2 x)^2 + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0; $

3) $ \log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \log_x 5 = 1. $

1) $\log_{2x+2}(2x^2 - 8x + 6) = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.

Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} 2x^2 - 8x + 6 > 0 \\ 2x + 2 > 0 \\ 2x + 2 \neq 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 8x + 6 > 0$.
Разделим на 2: $x^2 - 4x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Парабола $y=x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $2x + 2 > 0 \implies 2x > -2 \implies x > -1$.

Решим третье условие: $2x + 2 \neq 1 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -0.5$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1, -0.5) \cup (-0.5, 1) \cup (3, \infty)$.

Теперь решим само уравнение, используя определение логарифма $\log_b a = c \iff a = b^c$:
$2x^2 - 8x + 6 = (2x + 2)^2$
$2x^2 - 8x + 6 = 4x^2 + 8x + 4$
$2x^2 + 16x - 2 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + 8x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 64 + 4 = 68$
$\sqrt{D} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -4 \pm \sqrt{17}$
Получаем два корня: $x_1 = -4 + \sqrt{17}$ и $x_2 = -4 - \sqrt{17}$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ.
Оценим значение $\sqrt{17}$: $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, значит $4 < \sqrt{17} < 5$.
Для $x_1 = -4 + \sqrt{17}$: $0 < -4 + \sqrt{17} < 1$. Этот корень входит в интервал $(-0.5, 1)$ ОДЗ.
Для $x_2 = -4 - \sqrt{17}$: $-4 - \sqrt{17} < -4 - 4 = -8$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x > -1$.

Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $x = -4 + \sqrt{17}$.

2) $(\log_2 x)^2 + 3\log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, $x > 0$.

Преобразуем логарифм с основанием $\frac{1}{2}$ к основанию 2, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = \frac{1}{-1}\log_2 x = -\log_2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\log_2 x)^2 + 3(-\log_2 x) + 2 = 0$
$(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета. Сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни:
$t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
1. Если $\log_2 x = 1$, то $x = 2^1 = 2$.
2. Если $\log_2 x = 2$, то $x = 2^2 = 4$.

Оба корня ($x=2$ и $x=4$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1=2, x_2=4$.

3) $\log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \log_x 5 = 1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x + 4 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4/3 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию для второго логарифма: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.
$\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.
Заметим, что из ОДЗ следует $x \neq 1$, поэтому $\log_5 x \neq 0$.

Подставим в уравнение:
$\log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \frac{1}{\log_5 x} = 1$
$\log_5 \sqrt{3x+4} = \log_5 x$

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять их аргументы:
$\sqrt{3x+4} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом нужно учесть, что правая часть должна быть неотрицательной, то есть $x \geq 0$, что уже учтено в ОДЗ.
$3x + 4 = x^2$
$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 3, произведение равно -4. Корни:
$x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=4$.

5. Решить систему уравнений

$\begin{cases}3^x \cdot 2^y = 576, \\\log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4.\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы $\log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4$.

Согласно определению логарифма, это уравнение эквивалентно уравнению $y-x = (\sqrt{2})^4$. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), согласно которой аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $y - x > 0$.

Вычислим правую часть: $(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$.

Получаем простое линейное уравнение $y - x = 4$. Отсюда можно выразить $y$: $y = x + 4$.

Заметим, что если $y-x=4$, то условие ОДЗ $y-x > 0$ выполняется автоматически.

Теперь перейдем к первому уравнению системы: $3^x \cdot 2^y = 576$.

Разложим число 576 на простые множители. $576 = 9 \cdot 64 = 3^2 \cdot 2^6$.

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде $3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} y = x + 4 \\ 3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 3^2 \cdot 2^6$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 3^2 \cdot 2^6$

Разделим обе части на $2^4$:

$3^x \cdot 2^x = \frac{3^2 \cdot 2^6}{2^4}$

$3^x \cdot 2^x = 3^2 \cdot 2^{6-4}$

$3^x \cdot 2^x = 3^2 \cdot 2^2$

Применяя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для обеих частей уравнения, получаем:

$(3 \cdot 2)^x = (3 \cdot 2)^2$

$6^x = 6^2$

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$x = 2$.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в выражение $y = x + 4$:

$y = 2 + 4 = 6$.

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 6)$.

Проведем проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения.

Первое уравнение: $3^2 \cdot 2^6 = 9 \cdot 64 = 576$. Верно.

Второе уравнение: $\log_{\sqrt{2}}(6-2) = \log_{\sqrt{2}}(4)$. Так как $(\sqrt{2})^4 = 4$, то $\log_{\sqrt{2}}(4)=4$. Верно.

Ответ: $(2; 6)$.

6. Решить неравенство:

1) $\lg (x^2 - 2x - 2) \le 0$;

2) $\log_2 (\log_{\frac{1}{3}} (\log_5 x)) > 0$.

1) $\lg(x^2-2x-2) \le 0$

Решение данного логарифмического неравенства равносильно решению системы неравенств. Во-первых, аргумент логарифма должен быть строго больше нуля (область допустимых значений). Во-вторых, так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, знак неравенства сохраняется при потенцировании. Таким образом, получаем систему:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 2 > 0 \\ x^2 - 2x - 2 \le 10^0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 2x - 2 > 0 \\ x^2 - 2x - 3 \le 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство: $x^2 - 2x - 2 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 2$ направлены вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями:
$x \in (-\infty; 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Второе неравенство: $x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_3 = -1$ и $x_4 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ также направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ между корнями, включая сами корни:
$x \in [-1; 3]$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств, то есть пересечение множеств $(-\infty; 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}; +\infty)$ и $[-1; 3]$.
Оценим значения корней: $1 - \sqrt{3} \approx -0.732$ и $1 + \sqrt{3} \approx 2.732$.
Пересечение множества $[-1; 3]$ с $(-\infty; 1 - \sqrt{3})$ дает промежуток $[-1; 1 - \sqrt{3})$.
Пересечение множества $[-1; 3]$ с $(1 + \sqrt{3}; +\infty)$ дает промежуток $(1 + \sqrt{3}; 3]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-1; 1-\sqrt{3}) \cup (1+\sqrt{3}; 3]$.

2) $\log_2(\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x)) > 0$

Решим это неравенство с вложенными логарифмами последовательно, начиная с внешнего логарифма.

Представим $0$ как $\log_2 1$. Неравенство примет вид:
$\log_2(\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x)) > \log_2 1$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x) > 1$.

Теперь решим полученное неравенство. Представим $1$ как $\log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})$.
$\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x) > \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})$.
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным.
$0 < \log_5 x < \frac{1}{3}$.

Мы получили двойное неравенство. Решим его по частям.
Из левой части $\log_5 x > 0$ (где $0 = \log_5 1$), получаем $\log_5 x > \log_5 1$. Так как основание $5 > 1$, то $x > 1$.
Из правой части $\log_5 x < \frac{1}{3}$, получаем $\log_5 x < \log_5 5^{\frac{1}{3}}$. Так как основание $5 > 1$, то $x < \sqrt[3]{5}$.

Объединяя условия $x > 1$ и $x < \sqrt[3]{5}$, получаем итоговое решение. Наш пошаговый метод решения уже учел все ограничения области допустимых значений (ОДЗ). Для проверки, полная ОДЗ определяется системой: $x>0$, $\log_5 x > 0$ (что дает $x>1$) и $\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x) > 0$ (что дает $0 < \log_5 x < 1$, или $1 < x < 5$). Наше решение $1 < x < \sqrt[3]{5}$ полностью удовлетворяет ОДЗ, так как $1 < \sqrt[3]{5} < 5$.

Ответ: $x \in (1; \sqrt[3]{5})$.