Страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

884. Построить график функции:

1) $y = \log_4 x$;

2) $y = \log_{\frac{1}{4}} x$.

Является ли данная функция возрастающей (убывающей)?

При каких значениях x функция принимает положительные (отрицательные) значения? значение, равное нулю?

1) $y = \log_4 x$

Для построения графика функции $y = \log_4 x$ определим ее основные свойства и найдем несколько ключевых точек.
Область определения функции: $x > 0$. Это значит, что график полностью расположен в правой полуплоскости.
Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox), где $y=0$. Решим уравнение $\log_4 x = 0$, откуда по определению логарифма $x = 4^0 = 1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.
Ось ординат (Oy), то есть прямая $x=0$, является вертикальной асимптотой для графика функции, так как при $x$, стремящемся к 0 справа, $y$ стремится к $-\infty$.
Составим таблицу значений для нескольких точек:

• при $x = 1/4$, $y = \log_4(1/4) = \log_4(4^{-1}) = -1$;
• при $x = 1$, $y = \log_4(1) = 0$;
• при $x = 4$, $y = \log_4(4) = 1$;
• при $x = 16$, $y = \log_4(16) = 2$.

Нанеся точки $(1/4, -1)$, $(1, 0)$, $(4, 1)$, $(16, 2)$ на координатную плоскость и соединив их плавной кривой, которая приближается к оси Oy, но не пересекает ее, получим график функции.

Является ли данная функция возрастающей (убывающей)?
Основание логарифма $a=4$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то и $\log_4 x_2 > \log_4 x_1$.

При каких значениях x функция принимает положительные (отрицательные) значения? значение, равное нулю?
Функция равна нулю при $x=1$, так как $\log_4 1 = 0$.
Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$, то есть $\log_4 x > 0$. Представим 0 как $\log_4 1$. Получим $\log_4 x > \log_4 1$. Так как функция возрастающая (основание $4>1$), то $x > 1$.
Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$, то есть $\log_4 x < 0$. Аналогично, $\log_4 x < \log_4 1$. Так как функция возрастающая, то $x < 1$. Учитывая область определения $x>0$, получаем $0 < x < 1$.
Ответ: Функция является возрастающей. Она принимает положительные значения при $x \in (1, +\infty)$, отрицательные значения при $x \in (0, 1)$ и значение, равное нулю, при $x=1$.

2) $y = \log_{\frac{1}{4}} x$

Для построения графика функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ определим ее свойства.
Область определения функции: $x > 0$. График расположен в правой полуплоскости.
Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$). Решим уравнение $\log_{\frac{1}{4}} x = 0$, откуда $x = (\frac{1}{4})^0 = 1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.
Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x$, стремящемся к 0 справа, $y$ стремится к $+\infty$.
Составим таблицу значений:

• при $x = 1/4$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(1/4) = 1$;
• при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(1) = 0$;
• при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(4) = \log_{\frac{1}{4}}((\frac{1}{4})^{-1}) = -1$;
• при $x = 16$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(16) = \log_{\frac{1}{4}}((\frac{1}{4})^{-2}) = -2$.

Нанеся точки $(1/4, 1)$, $(1, 0)$, $(4, -1)$, $(16, -2)$ и соединив их плавной кривой, получим график. Можно также заметить, что $\log_{\frac{1}{4}} x = \log_{4^{-1}} x = -\log_4 x$. Это означает, что график функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ симметричен графику $y = \log_4 x$ относительно оси Ox.

Является ли данная функция возрастающей (убывающей)?
Основание логарифма $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то $\log_{\frac{1}{4}} x_2 < \log_{\frac{1}{4}} x_1$.

При каких значениях x функция принимает положительные (отрицательные) значения? значение, равное нулю?
Функция равна нулю при $x=1$, так как $\log_{\frac{1}{4}} 1 = 0$.
Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$, то есть $\log_{\frac{1}{4}} x > 0$. Представим 0 как $\log_{\frac{1}{4}} 1$. Получим $\log_{\frac{1}{4}} x > \log_{\frac{1}{4}} 1$. Так как функция убывающая (основание $0 < 1/4 < 1$), знак неравенства меняется на противоположный: $x < 1$. С учетом области определения $x>0$, получаем $0 < x < 1$.
Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$, то есть $\log_{\frac{1}{4}} x < 0$. Аналогично, $\log_{\frac{1}{4}} x < \log_{\frac{1}{4}} 1$. Так как функция убывающая, то $x > 1$.
Ответ: Функция является убывающей. Она принимает положительные значения при $x \in (0, 1)$, отрицательные значения при $x \in (1, +\infty)$ и значение, равное нулю, при $x=1$.

885. Выяснить, является возрастающей или убывающей функция:

1) $y = \log_{0,2} x;$

2) $y = \log_{\sqrt{5}} x;$

3) $y = \log_{\frac{1}{e}} x;$

4) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x.$

Характер монотонности (возрастание или убывание) логарифмической функции вида $y = \log_a x$ полностью зависит от ее основания $a$. Существует два правила:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей на всей области определения.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей на всей области определения.

Применим эти правила к каждой из заданных функций.

1) $y = \log_{0.2} x$

Основание данной логарифмической функции $a = 0.2$. Сравниваем основание с единицей: $0 < 0.2 < 1$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

Основание функции $a = \sqrt{5}$. Оценим значение основания. Поскольку $5 > 1$, то и квадратный корень из 5 будет больше квадратного корня из 1, то есть $\sqrt{5} > 1$. Приблизительное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) $y = \log_{\frac{1}{e}} x$

Основание функции $a = \frac{1}{e}$. Число $e$ (основание натурального логарифма) является иррациональной константой, приблизительно равной $e \approx 2.718$. Поскольку $e > 1$, его обратное значение $\frac{1}{e}$ будет меньше 1, но больше 0. Таким образом, $0 < \frac{1}{e} < 1$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$

Основание функции $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить их квадраты (так как оба числа положительны). $(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$. Поскольку $\frac{3}{4} < 1$, то и $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$. Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, тогда $a \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$, что также подтверждает $0 < a < 1$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

886. Решить графически уравнение:

1) $\log_3 x = 5 - x;$

2) $\log_{\frac{1}{3}} x = 3x.$

1)

Для того чтобы решить уравнение $log_3 x = 5 - x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 5 - x$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y_1 = \log_3 x$. Это логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, поэтому она является возрастающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через точку $(1; 0)$. Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

• При $x = 1$, $y_1 = \log_3 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
• При $x = 3$, $y_1 = \log_3 3 = 1$. Точка $(3; 1)$.
• При $x = 9$, $y_1 = \log_3 9 = 2$. Точка $(9; 2)$.

2. Построим график функции $y_2 = 5 - x$. Это линейная функция, ее график — прямая. Коэффициент при $x$ отрицательный, поэтому функция является убывающей. Для построения прямой достаточно двух точек.

• При $x = 0$, $y_2 = 5 - 0 = 5$. Точка $(0; 5)$.
• При $x = 5$, $y_2 = 5 - 5 = 0$. Точка $(5; 0)$.

3. Начертим оба графика в одной системе координат. График $y_1 = \log_3 x$ — монотонно возрастающая кривая, а график $y_2 = 5 - x$ — монотонно убывающая прямая. Так как одна функция возрастает, а другая убывает на всей области определения, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Из графика видно, что точка пересечения находится между значениями $x=3$ и $x=4$. Проверим это аналитически:

• При $x=3$: $y_1 = \log_3 3 = 1$, а $y_2 = 5 - 3 = 2$. Так как $1 < 2$, то есть $y_1 < y_2$, график логарифма находится ниже прямой.
• При $x=4$: $y_1 = \log_3 4$. Так как $4 > 3$, то $\log_3 4 > \log_3 3 = 1$. В то же время $y_2 = 5 - 4 = 1$. Так как $\log_3 4 > 1$, то есть $y_1 > y_2$, график логарифма находится выше прямой.

Это подтверждает, что корень уравнения лежит в интервале $(3; 4)$. Графический метод в данном случае позволяет найти лишь приблизительное значение корня, так как точного целочисленного или простого дробного решения уравнение не имеет. Построив точный график, можно определить, что корень близок к $3.8$.

Ответ: Уравнение имеет один корень, $x \in (3; 4)$. Приблизительное решение $x \approx 3.8$.

2)

Чтобы решить уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = 3x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2 = 3x$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $\frac{1}{3}$, которое удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому функция является убывающей. Область определения: $x > 0$. График проходит через точку $(1; 0)$. Составим таблицу значений:

• При $x = \frac{1}{3}$, $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3}) = 1$. Точка $(\frac{1}{3}; 1)$.
• При $x = 1$, $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
• При $x = 3$, $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$. Точка $(3; -1)$.

2. Построим график функции $y_2 = 3x$. Это линейная функция, ее график — прямая, проходящая через начало координат. Коэффициент при $x$ положительный, поэтому функция является возрастающей.

• При $x = 0$, $y_2 = 3 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x = 1$, $y_2 = 3 \cdot 1 = 3$. Точка $(1; 3)$.

3. Начертим оба графика в одной системе координат. Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ монотонно убывает, а функция $y_2 = 3x$ монотонно возрастает. Следовательно, их графики могут пересечься только в одной точке.

Попробуем найти точку пересечения подбором, используя простые значения. Проверим значение $x = \frac{1}{3}$, которое является ключевым для логарифмической функции:

• $y_1(\frac{1}{3}) = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3}) = 1$.
• $y_2(\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Поскольку значения функций совпали, точка $(\frac{1}{3}; 1)$ является точкой их пересечения. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

887. Найти область определения функции:

1) $y = \log_7 (5 - 2x);$

2) $y = \log_2 (x^2 - 2x).$

1) $y = \log_7(5 - 2x)$

Область определения логарифмической функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для логарифма вида $\log_a(b)$ основное условие заключается в том, что его аргумент (выражение в скобках) должен быть строго положительным, то есть $b > 0$.

Применительно к данной функции, это означает, что выражение $5 - 2x$ должно быть больше нуля:

$5 - 2x > 0$

Решим это линейное неравенство относительно $x$. Перенесем 5 в правую часть:

$-2x > -5$

Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-5}{-2}$

$x < 2.5$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, которые меньше 2.5. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 2.5)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2.5)$.

2) $y = \log_2(x^2 - 2x)$

Так же, как и в предыдущем задании, для нахождения области определения этой функции необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго положительным:

$x^2 - 2x > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Чтобы определить, на каких из этих интервалов неравенство $x^2 - 2x > 0$ выполняется, можно использовать метод интервалов. График функции $f(x) = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Это означает, что функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные — между корнями.

Таким образом, неравенство $x^2 - 2x > 0$ справедливо для значений $x$, которые меньше 0 или больше 2.

Область определения функции является объединением этих двух промежутков: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Решить уравнение (888—890).

888. 1) $ \log_{\frac{1}{2}}(7-8x)=-2 $

2) $ \lg (x^2-2)=\lg x $

1) $\log_{\frac{1}{2}}(7-8x) = -2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $7 - 8x > 0$

Решим это неравенство:
$-8x > -7$
$x < \frac{7}{8}$

Теперь решим само уравнение, используя основное логарифмическое тождество: если $\log_b a = c$, то $a = b^c$.
Применительно к нашему уравнению:
$7 - 8x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$

Вычислим значение в правой части:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{-1 \cdot (-2)} = 2^2 = 4$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$7 - 8x = 4$

Решим полученное линейное уравнение:
$-8x = 4 - 7$
$-8x = -3$
$x = \frac{-3}{-8} = \frac{3}{8}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = \frac{3}{8}$ условию ОДЗ ($x < \frac{7}{8}$).
Поскольку $\frac{3}{8} < \frac{7}{8}$, корень является действительным решением уравнения.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

2) $\lg(x^2 - 2) = \lg x$

Данное уравнение содержит логарифмы с одинаковым основанием (десятичный логарифм, основание 10). Уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе, в которой аргументы равны, и при этом они оба (или один из них, так как они равны) больше нуля.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства $x^2 > 2$ следует, что $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.
Совмещая это со вторым условием $x > 0$, получаем итоговую ОДЗ: $x > \sqrt{2}$.

Теперь решим уравнение, приравняв аргументы логарифмов:
$x^2 - 2 = x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют корни:
$x_1 = 2$
$x_2 = -1$

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x > \sqrt{2}$ (где $\sqrt{2} \approx 1.414$).
1. Корень $x_1 = 2$. Так как $2 > \sqrt{2}$, этот корень удовлетворяет ОДЗ.
2. Корень $x_2 = -1$. Так как $-1 < \sqrt{2}$, этот корень не входит в ОДЗ и является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $2$.

889. 1) $\lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - 1;$

2) $\log_3 (2x^2 + x) = \log_3 6 - \log_3 2;$

3) $\lg^2 x - 3 \lg x = 4;$

4) $\log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0.$

1) $\lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 2x > 0$

$x(x-2) > 0$

Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Представим 1 как десятичный логарифм: $1 = \lg 10$.

$\lg 30 - 1 = \lg 30 - \lg 10$

Используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$, получаем:

$\lg 30 - \lg 10 = \lg(30/10) = \lg 3$

Уравнение принимает вид:

$\lg (x^2 - 2x) = \lg 3$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 - 2x = 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

Для $x_1 = 3$: $3 \in (2, +\infty)$, корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-1 \in (-\infty, 0)$, корень подходит.

Ответ: $x = -1, x = 3$.

2) $\log_3(2x^2 + x) = \log_3 6 - \log_3 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$2x^2 + x > 0$

$x(2x + 1) > 0$

Решением неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, -1/2) \cup (0, +\infty)$.

Упростим правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов:

$\log_3 6 - \log_3 2 = \log_3(6/2) = \log_3 3 = 1$

Уравнение принимает вид:

$\log_3(2x^2 + x) = 1$

По определению логарифма:

$2x^2 + x = 3^1$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -3/2$

Проверим корни по ОДЗ:

Для $x_1 = 1$: $1 \in (0, +\infty)$, корень подходит.

Для $x_2 = -3/2$: $-3/2 = -1.5$, $-1.5 \in (-\infty, -1/2)$, корень подходит.

Ответ: $x = -3/2, x = 1$.

3) $\lg^2 x - 3 \lg x = 4$

ОДЗ: $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Перенесем 4 в левую часть:

$\lg^2 x - 3 \lg x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\lg x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \lg x$.

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = -4$

Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10000$.

2. $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня ($10000$ и $0.1$) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 0.1, x = 10000$.

4) $\log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0$

ОДЗ: $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену: пусть $t = \log_2 x$.

Получим уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим его по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 5$

$t_1 \cdot t_2 = 6$

Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

2. $\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8$.

Оба корня ($4$ и $8$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 4, x = 8$.

890. 1) $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x - 3) = 1;$

2) $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (-1 - x) = 3;$

3) $\lg (x - 2) + \lg x = \lg 3;$

4) $\log_{\sqrt{6}} (x - 1) + \log_{\sqrt{6}} (x + 4) = \log_{\sqrt{6}} 6.$

1) Исходное уравнение: $log_2(x-2) + log_2(x-3) = 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.
Теперь решим уравнение. Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:
$log_2((x-2)(x-3)) = 1$
По определению логарифма ($log_a(b) = c \Leftrightarrow a^c = b$), преобразуем уравнение:
$(x-2)(x-3) = 2^1$
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 3$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x > 3$.
Ответ: 4

2) Исходное уравнение: $log_3(5-x) + log_3(-1-x) = 3$.
Найдем ОДЗ:
$5-x > 0 \Rightarrow x < 5$
$-1-x > 0 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < -1$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$log_3((5-x)(-1-x)) = 3$
По определению логарифма:
$(5-x)(-1-x) = 3^3$
$-5 - 5x + x + x^2 = 27$
$x^2 - 4x - 5 - 27 = 0$
$x^2 - 4x - 32 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение -32. Корни уравнения: $x_1 = 8$, $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < -1$):
$x_1 = 8$ не удовлетворяет условию $x < -1$, это посторонний корень.
$x_2 = -4$ удовлетворяет условию $x < -1$.
Ответ: -4

3) Исходное уравнение: $lg(x-2) + lg x = lg 3$. (lg - это десятичный логарифм, $log_{10}$)
Найдем ОДЗ:
$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$x > 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$lg((x-2)x) = lg 3$
Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$(x-2)x = 3$
$x^2 - 2x = 3$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x > 2$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 2$, это посторонний корень.
Ответ: 3

4) Исходное уравнение: $log_{\sqrt{6}}(x-1) + log_{\sqrt{6}}(x+4) = log_{\sqrt{6}} 6$.
Найдем ОДЗ:
$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$log_{\sqrt{6}}((x-1)(x+4)) = log_{\sqrt{6}} 6$
Приравняем аргументы логарифмов:
$(x-1)(x+4) = 6$
$x^2 + 4x - x - 4 = 6$
$x^2 + 3x - 4 - 6 = 0$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -10. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x > 1$.
$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x > 1$, это посторонний корень.
Ответ: 2

Решить неравенство (891–893).

891. 1) $log_2 (x - 5) \le 2$;

2) $log_3 (7 - x) > 1$;

3) $log_{\frac{1}{2}} (2x + 1) > -2$;

4) $log_{\frac{1}{2}} (3 - 5x) < -3$.

1) Решим логарифмическое неравенство $\log_2(x-5) \le 2$.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x - 5 > 0$, откуда получаем $x > 5$.
Теперь решим само неравенство. Для этого представим правую часть в виде логарифма по основанию 2:
$2 = 2 \cdot \log_2(2) = \log_2(2^2) = \log_2(4)$.
Неравенство принимает вид:
$\log_2(x-5) \le \log_2(4)$.
Основание логарифма $a=2$ больше 1, следовательно, логарифмическая функция $y=\log_2(t)$ является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x - 5 \le 4$
$x \le 9$.
Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:
$\begin{cases} x > 5 \\ x \le 9 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $5 < x \le 9$.
Ответ: $x \in (5, 9]$.

2) Решим неравенство $\log_3(7-x) > 1$.
Найдем ОДЗ, потребовав, чтобы аргумент логарифма был положительным:
$7 - x > 0$, откуда $x < 7$.
Представим число 1 в виде логарифма по основанию 3:
$1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$.
Подставим это в исходное неравенство:
$\log_3(7-x) > \log_3(3)$.
Так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$7 - x > 3$
$-x > 3 - 7$
$-x > -4$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < 4$.
Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x < 7 \\ x < 4 \end{cases}$
Общим решением является $x < 4$.
Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.

3) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(2x+1) > -2$.
Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.
$2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:
$-2 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{\frac{1}{2}}(2^2) = \log_{\frac{1}{2}}(4)$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{2}}(2x+1) > \log_{\frac{1}{2}}(4)$.
Основание логарифма $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$2x + 1 < 4$
$2x < 3$
$x < \frac{3}{2}$.
Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ x < \frac{3}{2} \end{cases}$
Решением системы является интервал $-\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.

4) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(3-5x) < -3$.
Найдем ОДЗ:
$3 - 5x > 0 \Rightarrow 3 > 5x \Rightarrow x < \frac{3}{5}$.
Представим -3 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:
$-3 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}}(2^3) = \log_{\frac{1}{2}}(8)$.
Неравенство можно переписать как:
$\log_{\frac{1}{2}}(3-5x) < \log_{\frac{1}{2}}(8)$.
Поскольку основание логарифма $a=\frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей, и при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$3 - 5x > 8$
$-5x > 8 - 3$
$-5x > 5$
Разделим обе части на -5, не забыв снова поменять знак неравенства:
$x < -1$.
Найдем пересечение этого результата с ОДЗ:
$\begin{cases} x < \frac{3}{5} \\ x < -1 \end{cases}$
Так как $-1 < \frac{3}{5}$, общее решение системы $x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

892. 1) $ \log_3 (5 - 4x) < \log_3 (x - 1); $

2) $ \log_{0.3} (2x + 5) \ge \log_{0.3} (x + 1). $

1) Решим логарифмическое неравенство $\log_3(5-4x) < \log_3(x-1)$.
Для решения этого неравенства необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} 5 - 4x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} -4x > -5 \\ x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < \frac{5}{4} \\ x > 1 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ для данного неравенства есть интервал $x \in (1; \frac{5}{4})$.
Теперь перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма равно 3, что больше 1. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_3(t)$ является возрастающей. Это означает, что для аргументов выполняется неравенство с тем же знаком:
$5 - 4x < x - 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$5 + 1 < x + 4x$
$6 < 5x$
$x > \frac{6}{5}$
Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение найденного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x > \frac{6}{5} \\ 1 < x < \frac{5}{4} \end{cases}$
Сравним дроби: $\frac{6}{5} = 1.2$ и $\frac{5}{4} = 1.25$. Система принимает вид:
$\begin{cases} x > 1.2 \\ 1 < x < 1.25 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является интервал $(\frac{6}{5}; \frac{5}{4})$.
Ответ: $x \in (\frac{6}{5}; \frac{5}{4})$.

2) Решим логарифмическое неравенство $\log_{0.3}(2x+5) \ge \log_{0.3}(x+1)$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x + 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} 2x > -5 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{5}{2} \\ x > -1 \end{cases}$
Поскольку условие $x > -1$ является более строгим, чем $x > -2.5$, ОДЗ для неравенства: $x > -1$.
Теперь решим само неравенство. Основание логарифма равно 0.3, что меньше 1 ($0 < 0.3 < 1$). Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{0.3}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$2x + 5 \le x + 1$
Решим полученное линейное неравенство:
$2x - x \le 1 - 5$
$x \le -4$
Для получения окончательного ответа найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le -4 \\ x > -1 \end{cases}$
Эта система неравенств не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше или равно $-4$ и строго больше $-1$.
Ответ: нет решений.

893. 1) $ \lg (x^2 + 2x + 2) < 1; $

2) $ \log_3 (x^2 + 7x - 5) > 1. $

1)

Дано логарифмическое неравенство $lg(x^2 + 2x + 2) < 1$.
По определению десятичного логарифма ($lg$) и свойству логарифмической функции с основанием $10 > 1$, данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x + 2 > 0 \\ x^2 + 2x + 2 < 10^1 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство (область допустимых значений):
$x^2 + 2x + 2 > 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 2$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 + 2x + 2$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно при любом действительном значении $x$. Таким образом, область допустимых значений - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Рассмотрим второе неравенство:
$x^2 + 2x + 2 < 10$
$x^2 + 2x - 8 < 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решение этого неравенства: $x \in (-4, 2)$.

Так как область допустимых значений - вся числовая прямая, то решение исходного неравенства совпадает с решением второго неравенства.
Ответ: $x \in (-4, 2)$.

2)

Дано логарифмическое неравенство $log_3(x^2 + 7x - 5) > 1$.

Решение этого неравенства должно удовлетворять системе: $ \begin{cases} x^2 + 7x - 5 > 0 \quad (\text{ОДЗ}) \\ log_3(x^2 + 7x - 5) > 1 \end{cases} $

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому второе неравенство можно переписать, избавившись от логарифмов: $x^2 + 7x - 5 > 3^1$
$x^2 + 7x - 5 > 3$

Наша система принимает вид: $ \begin{cases} x^2 + 7x - 5 > 0 \\ x^2 + 7x - 5 > 3 \end{cases} $

Заметим, что если выполняется второе неравенство ($x^2 + 7x - 5 > 3$), то первое неравенство ($x^2 + 7x - 5 > 0$) выполняется автоматически, так как $3 > 0$. Следовательно, достаточно решить только второе, более сильное, неравенство:

$x^2 + 7x - 5 > 3$
$x^2 + 7x - 8 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = x^2 + 7x - 8$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x < -8$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (1, +\infty)$.

894. Вычислить:

1) $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[3]{3}};

2) $\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt[4]{5}};

3) $2^{2 - \log_2 5};

4) $3^{2 + \log_3 4};

5) $2 \log_5 \sqrt{5} + 3 \log_2 8;

6) $\log_2 \log_2 \log_2 2^{16}.

1) Чтобы вычислить $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt{3}}$, представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 3.
Основание: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Аргумент: $\frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3^{1+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = 3^{-\frac{3}{2}}$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$\log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{-\frac{3}{2}}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = -3 \cdot 1 = -3$.
Ответ: -3.

2) Чтобы вычислить $\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt[4]{5}}$, представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 5.
Основание: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Аргумент: $\frac{1}{25\sqrt[4]{5}} = \frac{1}{5^2 \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{5^{2+\frac{1}{4}}} = \frac{1}{5^{\frac{9}{4}}} = 5^{-\frac{9}{4}}$.
Подставим полученные выражения в логарифм:
$\log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^{-\frac{9}{4}}$.
Используем свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\frac{-\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}} \log_5 5 = -\frac{9}{4} \cdot 2 \cdot 1 = -\frac{9}{2} = -4,5$.
Ответ: -4,5.

3) Для вычисления $2^{2-\log_2 5}$ воспользуемся свойством степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$2^{2-\log_2 5} = \frac{2^2}{2^{\log_2 5}}$.
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$\frac{4}{2^{\log_2 5}} = \frac{4}{5} = 0,8$.
Ответ: 0,8.

4) Для вычисления $3^{2+\log_3 4}$ воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^{2+\log_3 4} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 4}$.
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$9 \cdot 3^{\log_3 4} = 9 \cdot 4 = 36$.
Ответ: 36.

5) Вычислим выражение $2\log_5 \sqrt{5} + 3\log_2 8$ по частям.
Первое слагаемое: $2\log_5 \sqrt{5}$. Используя свойство $k\log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$2\log_5 \sqrt{5} = \log_5 (\sqrt{5})^2 = \log_5 5 = 1$.
Второе слагаемое: $3\log_2 8$. Так как $8 = 2^3$:
$3\log_2 8 = 3\log_2 2^3 = 3 \cdot 3 \log_2 2 = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9$.
Теперь сложим полученные значения:
$1 + 9 = 10$.
Ответ: 10.

6) Вычислим $\log_2 \log_2 \log_2 2^{16}$ последовательно, начиная с внутреннего логарифма.
1. Вычислим $\log_2 2^{16}$. По определению логарифма $\log_a a^b = b$:
$\log_2 2^{16} = 16$.
2. Теперь выражение принимает вид $\log_2 \log_2 16$. Вычислим $\log_2 16$. Так как $16 = 2^4$:
$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$.
3. Остается вычислить $\log_2 4$. Так как $4 = 2^2$:
$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.
Ответ: 2.

895. Сравнить числа:

1) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ и $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$;

2) $2^{\frac{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9}{9}}$ и $\sqrt{8}$.

1) Сравним числа $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} $ и $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} $.

Для решения этой задачи преобразуем каждое из выражений, используя свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $.

Преобразуем первое число:

$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = \log_{2^{-1}} 3^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_2 3 = \log_2 3 $.

Преобразуем второе число:

$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \log_{3^{-1}} 2^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_3 2 = \log_3 2 $.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $ \log_2 3 $ и $ \log_3 2 $.

Оценим значение каждого из полученных логарифмов.

Для числа $ \log_2 3 $: основание логарифма $ 2 > 1 $. Так как $ 2 < 3 < 4 $, мы можем записать неравенство для логарифмов: $ \log_2 2 < \log_2 3 < \log_2 4 $. Поскольку $ \log_2 2 = 1 $ и $ \log_2 4 = 2 $, получаем, что $ 1 < \log_2 3 < 2 $.

Для числа $ \log_3 2 $: основание логарифма $ 3 > 1 $. Так как $ 1 < 2 < 3 $, мы можем записать неравенство для логарифмов: $ \log_3 1 < \log_3 2 < \log_3 3 $. Поскольку $ \log_3 1 = 0 $ и $ \log_3 3 = 1 $, получаем, что $ 0 < \log_3 2 < 1 $.

Сравнивая полученные оценки, видим, что $ \log_2 3 $ является числом, большим 1, а $ \log_3 2 $ — числом, меньшим 1.

Следовательно, $ \log_2 3 > \log_3 2 $, а значит и $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} $.

2) Сравним числа $ 2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} $ и $ \sqrt{8} $.

Сначала упростим первое выражение. Начнем с преобразования показателя степени: $ 2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9 $.

Используем свойства логарифмов:

1. $ n \log_a b = \log_a b^n $

2. $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $

Преобразуем первое слагаемое в показателе:

$ 2\log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25 $.

Преобразуем второе слагаемое в показателе:

$ \log_{\frac{1}{9}} 9 = \log_{9^{-1}} 9^1 = \frac{1}{-1} \log_9 9 = -1 \cdot 1 = -1 $.

Теперь весь показатель степени равен:

$ \log_2 25 + (-1) = \log_2 25 - 1 $.

Представим 1 как логарифм с основанием 2: $ 1 = \log_2 2 $. Тогда показатель степени становится:

$ \log_2 25 - \log_2 2 = \log_2 \frac{25}{2} $ (по свойству разности логарифмов).

Теперь подставим упрощенный показатель в исходное выражение:

$ 2^{\log_2 \frac{25}{2}} $.

Используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, получаем:

$ 2^{\log_2 \frac{25}{2}} = \frac{25}{2} = 12.5 $.

Теперь нам нужно сравнить число $ 12.5 $ и $ \sqrt{8} $.

Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Если $ a > 0, b > 0 $, то неравенство $ a > b $ равносильно неравенству $ a^2 > b^2 $.

Возведем в квадрат первое число:

$ (12.5)^2 = (\frac{25}{2})^2 = \frac{625}{4} = 156.25 $.

Возведем в квадрат второе число:

$ (\sqrt{8})^2 = 8 $.

Сравниваем квадраты: $ 156.25 > 8 $.

Так как квадрат первого числа больше квадрата второго, то и само первое число больше второго: $ 12.5 > \sqrt{8} $.

Следовательно, $ 2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} > \sqrt{8} $.

Ответ: $ 2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} > \sqrt{8} $.

896. Вычислить $ \log_{30} 64 $ с точностью до 0,001, зная, что $ \lg 3 \approx 0,4771 $, $ \lg 5 \approx 0,6990 $.

Для вычисления $\log_{30} 64$, используя данные значения десятичных логарифмов ($\lg x = \log_{10} x$), применим формулу перехода к новому основанию. В качестве нового основания выберем 10.

Формула перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.

Применив эту формулу, получаем:$\log_{30} 64 = \frac{\lg 64}{\lg 30}$

Далее последовательно вычислим значения числителя и знаменателя, используя данные $\lg 3 \approx 0,4771$, $\lg 5 \approx 0,6990$ и известное свойство $\lg 10 = 1$.

Вычисление числителя $\lg 64$
Сначала найдем значение $\lg 2$. Так как $2 = \frac{10}{5}$, то:$\lg 2 = \lg(\frac{10}{5}) = \lg 10 - \lg 5 \approx 1 - 0,6990 = 0,3010$.
Теперь можем вычислить $\lg 64$, представив $64$ как $2^6$:$\lg 64 = \lg(2^6) = 6 \cdot \lg 2 \approx 6 \cdot 0,3010 = 1,8060$.

Вычисление знаменателя $\lg 30$
Представим $30$ как произведение $3 \cdot 10$:$\lg 30 = \lg(3 \cdot 10) = \lg 3 + \lg 10$.
Подставив известные значения:$\lg 30 \approx 0,4771 + 1 = 1,4771$.

Итоговое вычисление
Подставим найденные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:$\log_{30} 64 \approx \frac{1,8060}{1,4771} \approx 1,222665...$

Согласно условию, результат необходимо округлить с точностью до 0,001, то есть до тысячных. Четвертый знак после запятой равен 6, поэтому округляем в большую сторону.$1,222665... \approx 1,223$.

Ответ: 1,223

897. Вычислить $ \log_{36} 15 $ с точностью до 0,001, зная, что $ \lg 3 \approx 0,4771 $, $ \lg 5 \approx 0,6990. $

Для вычисления $ \log_{36} 15 $ воспользуемся формулой перехода к новому основанию. Поскольку нам даны значения десятичных логарифмов (с основанием 10, обозначаются как $ \lg $), перейдем к основанию 10. Формула перехода к новому основанию $ c $ выглядит так: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $.

Применяя эту формулу, получаем: $ \log_{36} 15 = \frac{\lg 15}{\lg 36} $

Теперь необходимо выразить числитель и знаменатель через известные нам значения $ \lg 3 \approx 0,4771 $ и $ \lg 5 \approx 0,6990 $.

1. Вычислим числитель $ \lg 15 $. Используя свойство логарифма произведения ($ \lg(xy) = \lg x + \lg y $), получаем: $ \lg 15 = \lg (3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5 $ Подставляем данные значения: $ \lg 15 \approx 0,4771 + 0,6990 = 1,1761 $

2. Вычислим знаменатель $ \lg 36 $. Используя свойства логарифма степени ($ \lg(x^n) = n \lg x $) и произведения, представим $ 36 $ как $ 6^2 = (2 \cdot 3)^2 $: $ \lg 36 = \lg ( (2 \cdot 3)^2 ) = 2 \lg (2 \cdot 3) = 2 (\lg 2 + \lg 3) $ Нам неизвестно значение $ \lg 2 $, но его можно найти, зная, что $ \lg 10 = 1 $: $ \lg 10 = \lg(2 \cdot 5) = \lg 2 + \lg 5 = 1 $ Отсюда выражаем $ \lg 2 $: $ \lg 2 = 1 - \lg 5 \approx 1 - 0,6990 = 0,3010 $ Теперь можем вычислить $ \lg 36 $: $ \lg 36 \approx 2 (0,3010 + 0,4771) = 2 \cdot 0,7781 = 1,5562 $

3. Вычислим итоговое значение. Теперь, имея значения числителя и знаменателя, можем найти значение исходного выражения: $ \log_{36} 15 \approx \frac{1,1761}{1,5562} \approx 0,755751... $

4. Округлим результат. Согласно условию, результат нужно представить с точностью до 0,001, то есть округлить до трёх знаков после запятой. В числе 0,755751... четвёртая цифра после запятой — это 7. Так как $ 7 \ge 5 $, то округляем третью цифру (5) в большую сторону: $ 0,755751... \approx 0,756 $

Ответ: $0,756$