Номер 887, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

887. Найти область определения функции:

1) $y = \log_7 (5 - 2x);$

2) $y = \log_2 (x^2 - 2x).$

1) $y = \log_7(5 - 2x)$

Область определения логарифмической функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для логарифма вида $\log_a(b)$ основное условие заключается в том, что его аргумент (выражение в скобках) должен быть строго положительным, то есть $b > 0$.

Применительно к данной функции, это означает, что выражение $5 - 2x$ должно быть больше нуля:

$5 - 2x > 0$

Решим это линейное неравенство относительно $x$. Перенесем 5 в правую часть:

$-2x > -5$

Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-5}{-2}$

$x < 2.5$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, которые меньше 2.5. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 2.5)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2.5)$.

2) $y = \log_2(x^2 - 2x)$

Так же, как и в предыдущем задании, для нахождения области определения этой функции необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго положительным:

$x^2 - 2x > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Чтобы определить, на каких из этих интервалов неравенство $x^2 - 2x > 0$ выполняется, можно использовать метод интервалов. График функции $f(x) = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Это означает, что функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные — между корнями.

Таким образом, неравенство $x^2 - 2x > 0$ справедливо для значений $x$, которые меньше 0 или больше 2.

Область определения функции является объединением этих двух промежутков: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.