Номер 889, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

889. 1) $\lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - 1;$

2) $\log_3 (2x^2 + x) = \log_3 6 - \log_3 2;$

3) $\lg^2 x - 3 \lg x = 4;$

4) $\log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0.$

1) $\lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 2x > 0$

$x(x-2) > 0$

Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Представим 1 как десятичный логарифм: $1 = \lg 10$.

$\lg 30 - 1 = \lg 30 - \lg 10$

Используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$, получаем:

$\lg 30 - \lg 10 = \lg(30/10) = \lg 3$

Уравнение принимает вид:

$\lg (x^2 - 2x) = \lg 3$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 - 2x = 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

Для $x_1 = 3$: $3 \in (2, +\infty)$, корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-1 \in (-\infty, 0)$, корень подходит.

Ответ: $x = -1, x = 3$.

2) $\log_3(2x^2 + x) = \log_3 6 - \log_3 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$2x^2 + x > 0$

$x(2x + 1) > 0$

Решением неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, -1/2) \cup (0, +\infty)$.

Упростим правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов:

$\log_3 6 - \log_3 2 = \log_3(6/2) = \log_3 3 = 1$

Уравнение принимает вид:

$\log_3(2x^2 + x) = 1$

По определению логарифма:

$2x^2 + x = 3^1$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -3/2$

Проверим корни по ОДЗ:

Для $x_1 = 1$: $1 \in (0, +\infty)$, корень подходит.

Для $x_2 = -3/2$: $-3/2 = -1.5$, $-1.5 \in (-\infty, -1/2)$, корень подходит.

Ответ: $x = -3/2, x = 1$.

3) $\lg^2 x - 3 \lg x = 4$

ОДЗ: $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Перенесем 4 в левую часть:

$\lg^2 x - 3 \lg x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\lg x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \lg x$.

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = -4$

Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10000$.

2. $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня ($10000$ и $0.1$) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 0.1, x = 10000$.

4) $\log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0$

ОДЗ: $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену: пусть $t = \log_2 x$.

Получим уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим его по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 5$

$t_1 \cdot t_2 = 6$

Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

2. $\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8$.

Оба корня ($4$ и $8$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 4, x = 8$.