Номер 882, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

882. 1) $4 \log_{\frac{1}{2}} 3 - \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 - 2 \log_{\frac{1}{2}} 6;$

2) $\frac{2}{3} \lg 0,001 + \lg \sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}.$

1) $4 \log_{\frac{1}{2}} 3 - \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 - 2 \log_{\frac{1}{2}} 6$

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала применим свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$ к каждому слагаемому:

$4 \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} 3^4 = \log_{\frac{1}{2}} 81$

$\frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 = \log_{\frac{1}{2}} 27^{\frac{2}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} (3^3)^{\frac{2}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} 3^2 = \log_{\frac{1}{2}} 9$

$2 \log_{\frac{1}{2}} 6 = \log_{\frac{1}{2}} 6^2 = \log_{\frac{1}{2}} 36$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\log_{\frac{1}{2}} 81 - \log_{\frac{1}{2}} 9 - \log_{\frac{1}{2}} 36$

Далее используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$(\log_{\frac{1}{2}} 81 - \log_{\frac{1}{2}} 9) - \log_{\frac{1}{2}} 36 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{81}{9} - \log_{\frac{1}{2}} 36 = \log_{\frac{1}{2}} 9 - \log_{\frac{1}{2}} 36$

Применяем свойство разности логарифмов еще раз:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{9}{36} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$

Чтобы найти значение этого логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести основание $\frac{1}{2}$, чтобы получить $\frac{1}{4}$?

$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4}$

$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^2$

$x = 2$

Следовательно, $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$.

Ответ: 2

2) $\frac{2}{3} \lg 0,001 + \lg \sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{2}{3} \lg 0,001$.

Так как $0,001 = 10^{-3}$, то $\lg 0,001 = \lg 10^{-3} = -3$.

$\frac{2}{3} \lg 0,001 = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$.

Второе слагаемое: $\lg \sqrt[3]{1000}$.

Так как $\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$, то $\lg \sqrt[3]{1000} = \lg 10 = 1$.

Третье слагаемое: $-\frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}$.

Так как $\sqrt{10000} = \sqrt{10^4} = 10^2 = 100$, то $\lg \sqrt{10000} = \lg 100 = \lg 10^2 = 2$.

$-\frac{3}{5} \lg \sqrt{10000} = -\frac{3}{5} \cdot 2 = -\frac{6}{5} = -1,2$.

Теперь сложим все полученные значения:

$-2 + 1 - 1,2 = -1 - 1,2 = -2,2$.

Ответ: -2,2