Номер 875, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

875. 1) $\frac{1}{5-\lg x} + \frac{2}{1+\lg x} < 1;$

2) $\log_3 (2 - 3^{-x}) < x + 1 - \log_3 4;$

3) $\log_{3x+\frac{1}{4}} (1 - 25x^2) > 0;$

4) $\log_{\frac{x-1}{5x-6}} (\sqrt{6}-2x) < 0.$

1)Исходное неравенство: $ \frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} < 1 $.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$. Знаменатели не должны быть равны нулю:$5 - \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq 5 \implies x \neq 10^5$.$1 + \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0.1$.ОДЗ: $x \in (0; 0.1) \cup (0.1; 10^5) \cup (10^5; +\infty)$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство примет вид:$ \frac{1}{5 - t} + \frac{2}{1 + t} < 1 $
Перенесем 1 в левую часть и приведем все к общему знаменателю:$ \frac{1(1+t) + 2(5-t) - 1(5-t)(1+t)}{(5-t)(1+t)} < 0 $
$ \frac{1+t + 10-2t - (5+5t-t-t^2)}{(5-t)(1+t)} < 0 $
$ \frac{11-t - (5+4t-t^2)}{(5-t)(1+t)} < 0 $
$ \frac{11-t - 5-4t+t^2}{(5-t)(1+t)} < 0 $
$ \frac{t^2 - 5t + 6}{(5-t)(1+t)} < 0 $
Разложим числитель на множители: $t^2 - 5t + 6 = (t-2)(t-3)$.$ \frac{(t-2)(t-3)}{(5-t)(1+t)} < 0 $
Для удобства решения методом интервалов изменим знак в знаменателе, поменяв знак неравенства:$ \frac{(t-2)(t-3)}{-(t-5)(t+1)} < 0 \implies \frac{(t-2)(t-3)}{(t-5)(t+1)} > 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отмечаем точки $t=-1, t=2, t=3, t=5$. Они разбивают ось на 5 интервалов. Определив знаки на каждом интервале, получаем решение:$t \in (-\infty; -1) \cup (2; 3) \cup (5; +\infty)$.
Выполним обратную замену $t = \lg x$:
1. $\lg x < -1 \implies x < 10^{-1} \implies x < 0.1$.
2. $2 < \lg x < 3 \implies 10^2 < x < 10^3 \implies 100 < x < 1000$.
3. $\lg x > 5 \implies x > 10^5$.
Учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in (0; 0.1) \cup (100; 1000) \cup (10^5; +\infty)$.

2)Исходное неравенство: $ \log_3 (2 - 3^{-x}) < x + 1 - \log_3 4 $.
ОДЗ: $2 - 3^{-x} > 0 \implies 2 > 3^{-x} \implies 2 > \frac{1}{3^x} \implies 3^x > \frac{1}{2} \implies x > \log_3(\frac{1}{2}) \implies x > -\log_3 2$.
Преобразуем неравенство:$ \log_3 (2 - 3^{-x}) + \log_3 4 < x + 1 $
$ \log_3 (4(2 - 3^{-x})) < x + \log_3 3 $
$ \log_3 (8 - 4 \cdot 3^{-x}) < \log_3(3^x) + \log_3 3 $
$ \log_3 (8 - 4 \cdot 3^{-x}) < \log_3(3 \cdot 3^x) $
Так как основание логарифма $3>1$, знак неравенства сохраняется:$ 8 - 4 \cdot 3^{-x} < 3 \cdot 3^x $
Сделаем замену $y = 3^x$. Так как $x > -\log_3 2$, то $y > 3^{-\log_3 2} = 3^{\log_3(1/2)} = 1/2$.$ 8 - \frac{4}{y} < 3y $
Умножим обе части на $y$ (так как $y > 1/2 > 0$):$ 8y - 4 < 3y^2 $
$ 3y^2 - 8y + 4 > 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $3y^2 - 8y + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.$y_1 = \frac{8-4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $y_2 = \frac{8+4}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $y < \frac{2}{3}$ или $y > 2$.Учитывая условие $y > 1/2$, получаем: $ \frac{1}{2} < y < \frac{2}{3} $ или $y > 2$.
Возвращаемся к переменной $x$:1. $ \frac{1}{2} < 3^x < \frac{2}{3} \implies \log_3(\frac{1}{2}) < x < \log_3(\frac{2}{3}) \implies -\log_3 2 < x < \log_3 2 - 1 $.
2. $ 3^x > 2 \implies x > \log_3 2 $.

Ответ: $x \in (-\log_3 2; \log_3 2 - 1) \cup (\log_3 2; +\infty)$.

3)Исходное неравенство: $ \log_{3x + \frac{1}{4}} (1 - 25x^2) > 0 $.
Данное логарифмическое неравенство равносильно совокупности двух систем уравнений, основанной на свойствах логарифмической функции.
Случай 1: Основание больше 1, и аргумент больше 1.$ \begin{cases} 3x + \frac{1}{4} > 1 \\ 1 - 25x^2 > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > \frac{3}{4} \\ -25x^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x^2 < 0 \end{cases} $. Второе неравенство системы не имеет решений, значит и вся система не имеет решений.
Случай 2: Основание от 0 до 1, и аргумент от 0 до 1.$ \begin{cases} 0 < 3x + \frac{1}{4} < 1 \\ 0 < 1 - 25x^2 < 1 \end{cases} $.
Решим первое двойное неравенство:$ 0 < 3x + \frac{1}{4} < 1 \implies -\frac{1}{4} < 3x < \frac{3}{4} \implies -\frac{1}{12} < x < \frac{1}{4} $.
Решим второе двойное неравенство:$ 0 < 1 - 25x^2 < 1 $. Это система из двух неравенств:$ 1 - 25x^2 > 0 \implies 25x^2 < 1 \implies x^2 < \frac{1}{25} \implies -\frac{1}{5} < x < \frac{1}{5} $.
$ 1 - 25x^2 < 1 \implies -25x^2 < 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0 $.Объединяя, получаем $ x \in (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{5}) $.
Теперь найдем пересечение решений для случая 2:$ (-\frac{1}{12}; \frac{1}{4}) \cap ((-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{5})) $.Так как $-\frac{1}{5} = -0.2$, а $-\frac{1}{12} \approx -0.083$, то $-\frac{1}{5} < -\frac{1}{12}$.Так как $\frac{1}{5} = 0.2$, а $\frac{1}{4} = 0.25$, то $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$.Пересечение интервалов дает: $x \in (-\frac{1}{12}; 0) \cup (0; \frac{1}{5})$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{12}; 0) \cup (0; \frac{1}{5})$.

4)Исходное неравенство: $ \log_{\frac{x-1}{5x-6}} (\sqrt{6-2x}) < 0 $.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
Случай 1: Основание больше 1, аргумент от 0 до 1.$ \begin{cases} \frac{x-1}{5x-6} > 1 \\ 0 < \sqrt{6-2x} < 1 \end{cases} $
Случай 2: Основание от 0 до 1, аргумент больше 1.$ \begin{cases} 0 < \frac{x-1}{5x-6} < 1 \\ \sqrt{6-2x} > 1 \end{cases} $
Решим случай 1:Первое неравенство: $ \frac{x-1}{5x-6} - 1 > 0 \implies \frac{x-1 - (5x-6)}{5x-6} > 0 \implies \frac{-4x+5}{5x-6} > 0 \implies \frac{4x-5}{5x-6} < 0 $. Решение: $x \in (\frac{6}{5}; \frac{5}{4}) $.
Второе неравенство: $ 0 < \sqrt{6-2x} < 1 \implies 0 < 6-2x < 1 $. Из $6-2x<1$ следует $5<2x$, то есть $x > 2.5$.Пересечения интервалов $ (\frac{6}{5}; \frac{5}{4}) $ и $ (2.5; 3) $ нет. Система 1 не имеет решений.
Решим случай 2:Первое двойное неравенство $ 0 < \frac{x-1}{5x-6} < 1 $. Оно распадается на два:$ \frac{x-1}{5x-6} > 0 \implies x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{6}{5}; +\infty) $.
$ \frac{x-1}{5x-6} < 1 \implies \frac{4x-5}{5x-6} > 0 \implies x \in (-\infty; \frac{6}{5}) \cup (\frac{5}{4}; +\infty) $.
Пересечение этих решений дает $ x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; +\infty) $.
Второе неравенство: $ \sqrt{6-2x} > 1 \implies 6-2x > 1 \implies 5 > 2x \implies x < \frac{5}{2} $.
Теперь найдем пересечение решений для случая 2:$ ((-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; +\infty)) \cap (-\infty; \frac{5}{2}) $.
Это дает $ x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; \frac{5}{2}) $.Это решение удовлетворяет ОДЗ ($6-2x>0 \implies x<3$).
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; \frac{5}{2})$.