Номер 871, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

871. 1) $\lg (x^2 - 8x + 13) > 0$;

2) $\log_{\frac{1}{5}} (x^2 - 5x + 7) < 0$;

3) $\log_2 (x^2 + 2x) < 3$;

4) $\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 5x - 6) \geq -3$.

1)

Решим неравенство $\lg(x^2 - 8x + 13) > 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 8x + 13 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 13 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 64 - 52 = 12$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 4 \pm \sqrt{3}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 8x + 13$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x$ за пределами корней, то есть ОДЗ: $x \in (-\infty; 4 - \sqrt{3}) \cup (4 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Теперь решим само логарифмическое неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию 10 (так как $\lg$ - это десятичный логарифм):

$0 = \lg(1)$

Неравенство принимает вид: $\lg(x^2 - 8x + 13) > \lg(1)$.

Так как основание логарифма $10 > 1$, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$x^2 - 8x + 13 > 1$

$x^2 - 8x + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Для этого сравним значения: $4 - \sqrt{3} \approx 4 - 1.73 = 2.27$ и $4 + \sqrt{3} \approx 4 + 1.73 = 5.73$.

Таким образом, мы ищем пересечение множеств $(-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$ и $(-\infty; 4 - \sqrt{3}) \cup (4 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Так как $2 < 4 - \sqrt{3}$ и $6 > 4 + \sqrt{3}$, пересечение множеств дает нам $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 5x + 7) < 0$.

Найдем ОДЗ: $x^2 - 5x + 7 > 0$.

Вычислим дискриминант уравнения $x^2 - 5x + 7 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 7$ положителен при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{5}$:

$0 = \log_{\frac{1}{5}}(1)$

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 5x + 7) < \log_{\frac{1}{5}}(1)$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:

$x^2 - 5x + 7 > 1$

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

Так как ОДЗ - все действительные числа, это и есть окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\log_2(x^2 + 2x) < 3$.

Найдем ОДЗ: $x^2 + 2x > 0 \Rightarrow x(x+2) > 0$.

Корни уравнения $x(x+2)=0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

Решим основное неравенство. Представим 3 в виде логарифма по основанию 2:

$3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$

Неравенство принимает вид: $\log_2(x^2 + 2x) < \log_2(8)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 2x < 8$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4; 2)$.

Теперь найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \\ x \in (-4; 2) \end{cases}$

Пересечение интервалов дает: $x \in (-4; -2) \cup (0; 2)$.

Ответ: $x \in (-4; -2) \cup (0; 2)$.

4)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) \ge -3$.

Найдем ОДЗ: $x^2 - 5x - 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется за пределами корней.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим -3 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:

$-3 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}}(2^3) = \log_{\frac{1}{2}}(8)$

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) \ge \log_{\frac{1}{2}}(8)$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 5x - 6 \le 8$

$x^2 - 5x - 14 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая сами корни): $x \in [-2; 7]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty) \\ x \in [-2; 7] \end{cases}$

Пересечение интервалов дает: $x \in [-2; -1) \cup (6; 7]$.

Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (6; 7]$.