Страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

870. 1) $\log_8 (x^2 - 4x + 3) < 1;$

2) $\log_6 (x^2 - 3x + 2) \geq 1;$

3) $\log_3 (x^2 + 2x) > 1;$

4) $\log_{\frac{2}{3}} (x^2 - 2,5x) < -1.$

1) $\log_8(x^2 - 4x + 3) < 1$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Так как основание логарифма $8 > 1$, знак неравенства сохраняется.

$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 < 8^1 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 < 8$.
$x^2 - 4x - 5 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-1; 5)$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ и $(-1; 5)$.
Пересечением является объединение интервалов $(-1; 1)$ и $(3; 5)$.

Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (3; 5)$.

2) $\log_6(x^2 - 3x + 2) \geq 1$

Так как основание логарифма $6 > 1$, знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 \geq 6^1 \end{cases} $

Заметим, что если выполняется второе неравенство $x^2 - 3x + 2 \geq 6$, то первое неравенство $x^2 - 3x + 2 > 0$ выполняется автоматически. Поэтому достаточно решить только второе неравенство.

$x^2 - 3x + 2 \geq 6$
$x^2 - 3x - 4 \geq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.

3) $\log_3(x^2 + 2x) > 1$

Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x > 0 \\ x^2 + 2x > 3^1 \end{cases} $

Если выполняется второе неравенство $x^2 + 2x > 3$, то первое неравенство $x^2 + 2x > 0$ выполняется автоматически. Решаем второе неравенство.

$x^2 + 2x - 3 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

4) $\log_{\frac{2}{3}}(x^2 - 2,5x) < -1$

Так как основание логарифма $0 < \frac{2}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2,5x > 0 \\ x^2 - 2,5x > (\frac{2}{3})^{-1} \end{cases} $

Упростим второе неравенство: $x^2 - 2,5x > \frac{3}{2}$, или $x^2 - 2,5x > 1,5$.
Если выполняется второе неравенство $x^2 - 2,5x > 1,5$, то первое неравенство $x^2 - 2,5x > 0$ выполняется автоматически. Решаем второе.

$x^2 - 2,5x - 1,5 > 0$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей: $2x^2 - 5x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
$x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 5x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.

871. 1) $\lg (x^2 - 8x + 13) > 0$;

2) $\log_{\frac{1}{5}} (x^2 - 5x + 7) < 0$;

3) $\log_2 (x^2 + 2x) < 3$;

4) $\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 5x - 6) \geq -3$.

1)

Решим неравенство $\lg(x^2 - 8x + 13) > 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 8x + 13 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 13 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 64 - 52 = 12$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 4 \pm \sqrt{3}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 8x + 13$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x$ за пределами корней, то есть ОДЗ: $x \in (-\infty; 4 - \sqrt{3}) \cup (4 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Теперь решим само логарифмическое неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию 10 (так как $\lg$ - это десятичный логарифм):

$0 = \lg(1)$

Неравенство принимает вид: $\lg(x^2 - 8x + 13) > \lg(1)$.

Так как основание логарифма $10 > 1$, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$x^2 - 8x + 13 > 1$

$x^2 - 8x + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Для этого сравним значения: $4 - \sqrt{3} \approx 4 - 1.73 = 2.27$ и $4 + \sqrt{3} \approx 4 + 1.73 = 5.73$.

Таким образом, мы ищем пересечение множеств $(-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$ и $(-\infty; 4 - \sqrt{3}) \cup (4 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Так как $2 < 4 - \sqrt{3}$ и $6 > 4 + \sqrt{3}$, пересечение множеств дает нам $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 5x + 7) < 0$.

Найдем ОДЗ: $x^2 - 5x + 7 > 0$.

Вычислим дискриминант уравнения $x^2 - 5x + 7 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 7$ положителен при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{5}$:

$0 = \log_{\frac{1}{5}}(1)$

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 5x + 7) < \log_{\frac{1}{5}}(1)$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:

$x^2 - 5x + 7 > 1$

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

Так как ОДЗ - все действительные числа, это и есть окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\log_2(x^2 + 2x) < 3$.

Найдем ОДЗ: $x^2 + 2x > 0 \Rightarrow x(x+2) > 0$.

Корни уравнения $x(x+2)=0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

Решим основное неравенство. Представим 3 в виде логарифма по основанию 2:

$3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$

Неравенство принимает вид: $\log_2(x^2 + 2x) < \log_2(8)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 2x < 8$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4; 2)$.

Теперь найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \\ x \in (-4; 2) \end{cases}$

Пересечение интервалов дает: $x \in (-4; -2) \cup (0; 2)$.

Ответ: $x \in (-4; -2) \cup (0; 2)$.

4)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) \ge -3$.

Найдем ОДЗ: $x^2 - 5x - 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется за пределами корней.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим -3 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:

$-3 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}}(2^3) = \log_{\frac{1}{2}}(8)$

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) \ge \log_{\frac{1}{2}}(8)$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 5x - 6 \le 8$

$x^2 - 5x - 14 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая сами корни): $x \in [-2; 7]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty) \\ x \in [-2; 7] \end{cases}$

Пересечение интервалов дает: $x \in [-2; -1) \cup (6; 7]$.

Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (6; 7]$.

872. 1) $log_{\frac{1}{3}} log_2 x^2 > 0;$

2) $log_3 log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 1.$

1) $\log_{\frac{1}{3}} \log_2 x^2 > 0$

Данное неравенство представляет собой сложный логарифм. Решим его, последовательно находя область допустимых значений (ОДЗ) и упрощая неравенство.

Во-первых, аргумент любого логарифма должен быть строго положительным. Это дает нам систему условий для ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ \log_2 x^2 > 0 \end{cases}$

Из первого условия $x^2 > 0$ следует, что $x \neq 0$.

Решим второе условие: $\log_2 x^2 > 0$. Так как основание логарифма $2 > 1$, неравенство равносильно $x^2 > 2^0$, то есть $x^2 > 1$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Общая ОДЗ является пересечением этих условий, то есть $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь решим исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} \log_2 x^2 > 0$.

Представим правую часть как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$.

$\log_{\frac{1}{3}} (\log_2 x^2) > \log_{\frac{1}{3}} 1$

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_2 x^2 < 1$

Представим правую часть как логарифм с основанием 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2 x^2 < \log_2 2$

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 < 2 \implies x^2 - 2 < 0 \implies (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\ x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является $(-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$

2) $\log_3 \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) > 0$. Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется: $x^2 - 1 < (\frac{1}{2})^0 \implies x^2 - 1 < 1 \implies x^2 < 2$. Решением является $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

ОДЗ является пересечением решений этих двух неравенств: $x \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$.

Теперь решим исходное неравенство: $\log_3 \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 1$.

Основание внешнего логарифма $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 3^1 \implies \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 3$

Теперь решим это неравенство. Основание $\frac{1}{2} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 1 > (\frac{1}{2})^3$

$x^2 - 1 > \frac{1}{8}$

$x^2 > 1 + \frac{1}{8} \implies x^2 > \frac{9}{8}$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{9}{8}}) \cup (\sqrt{\frac{9}{8}}, \infty)$, или $x \in (-\infty, -\frac{3\sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \infty)$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.

Сравним граничные точки: $1 < \frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1.06$ и $\frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1.06 < \sqrt{2} \approx 1.41$.

Таким образом, мы ищем пересечение множеств:

$\left( (-\infty, -\frac{3\sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \infty) \right) \cap \left( (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2}) \right)$

Это дает нам два интервала:

1. $(-\sqrt{2}, -1) \cap (-\infty, -\frac{3\sqrt{2}}{4}) = (-\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{4})$

2. $(1, \sqrt{2}) \cap (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \infty) = (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \sqrt{2})$

Объединяя их, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \sqrt{2})$

873. 1) $ \log_{0.2} x - \log_5 (x - 2) < \log_{0.2} 3; $

2) $ \lg x - \log_{0.1} (x - 1) > \log_{0.1} 0.5. $

1) Решим неравенство $\log_{0.2} x - \log_{5} (x-2) < \log_{0.2} 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Далее, приведем все логарифмы к одному основанию. Заметим, что $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Преобразуем $\log_5 (x-2)$ к основанию $0.2$.

$\log_5 (x-2) = \log_{{0.2}^{-1}} (x-2) = \frac{1}{-1}\log_{0.2} (x-2) = -\log_{0.2} (x-2)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$\log_{0.2} x - (-\log_{0.2} (x-2)) < \log_{0.2} 3$

$\log_{0.2} x + \log_{0.2} (x-2) < \log_{0.2} 3$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)$, получим:

$\log_{0.2} (x(x-2)) < \log_{0.2} 3$

Так как основание логарифма $0.2$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x(x-2) > 3$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 2x > 3$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Следовательно, корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

Наконец, учтем ОДЗ, найдя пересечение полученного решения с интервалом $x > 2$.

$(-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \cap (2, +\infty) = (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\lg x - \log_{0.1} (x-1) > \log_{0.1} 0.5$.

Найдем ОДЗ. Напомним, что $\lg x$ это $\log_{10} x$.

$\begin{cases} x > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Приведем логарифмы к одному основанию $10$. Заметим, что $0.1 = 10^{-1}$. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.

$\log_{0.1} (x-1) = \log_{10^{-1}} (x-1) = -\log_{10} (x-1) = -\lg(x-1)$.

$\log_{0.1} 0.5 = \log_{10^{-1}} 0.5 = -\log_{10} 0.5 = -\lg 0.5$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$\lg x - (-\lg(x-1)) > -\lg 0.5$

$\lg x + \lg(x-1) > -\lg 0.5$

Применим свойство суммы логарифмов слева и свойство степени логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$ справа:

$\lg(x(x-1)) > \lg(0.5^{-1})$

$\lg(x(x-1)) > \lg(\frac{1}{0.5})$

$\lg(x(x-1)) > \lg 2$

Основание десятичного логарифма равно $10$, что больше $1$. Логарифмическая функция с таким основанием является возрастающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется.

$x(x-1) > 2$

Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - x > 2$

$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

Пересечем это решение с ОДЗ ($x > 1$):

$(-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \cap (1, +\infty) = (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

874. 1) $\log^2_{0.2} x - 5 \log_{0.2} x < -6;$

2) $\log^2_{0.1} x + 3 \log_{0.1} x > 4.$

1) Решим неравенство $\log_{0,2}^2 x - 5 \log_{0,2} x < -6$.
Сначала перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\log_{0,2}^2 x - 5 \log_{0,2} x + 6 < 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма определяется условием $x > 0$.
Это неравенство является квадратным относительно $\log_{0,2} x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,2} x$. Тогда неравенство принимает вид:
$t^2 - 5t + 6 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Графиком функции $y = t^2 - 5t + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:
$2 < t < 3$
Теперь выполним обратную замену:
$2 < \log_{0,2} x < 3$
Это двойное неравенство эквивалентно системе:
$\{ \begin{array}{l} \log_{0,2} x > 2 \\ \log_{0,2} x < 3 \end{array} \$
Поскольку основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенств меняются на противоположные:
$\{ \begin{array}{l} x < 0,2^2 \\ x > 0,2^3 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x < 0,04 \\ x > 0,008 \end{array} \$
Объединяя эти два условия, получаем $0,008 < x < 0,04$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (0,008; 0,04)$.

2) Решим неравенство $\log_{0,1}^2 x + 3 \log_{0,1} x > 4$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\log_{0,1}^2 x + 3 \log_{0,1} x - 4 > 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,1} x$.
$t^2 + 3t - 4 > 0$
Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -4$ и $t_2 = 1$.
Графиком функции $y = t^2 + 3t - 4$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции больше нуля вне интервала между корнями. Следовательно, решение для $t$:
$t < -4$ или $t > 1$.
Выполним обратную замену. Это приводит к совокупности двух неравенств:
$[ \begin{array}{l} \log_{0,1} x < -4 \\ \log_{0,1} x > 1 \end{array} ]$
Поскольку основание логарифма $0,1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и при переходе к аргументам знаки неравенств меняются на противоположные.
1) $\log_{0,1} x < -4 \Rightarrow x > (0,1)^{-4} \Rightarrow x > (\frac{1}{10})^{-4} \Rightarrow x > 10^4 \Rightarrow x > 10000$.
2) $\log_{0,1} x > 1 \Rightarrow x < (0,1)^1 \Rightarrow x < 0,1$.
Получили два промежутка: $x > 10000$ и $x < 0,1$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), окончательное решение представляет собой объединение интервалов:
$0 < x < 0,1$ и $x > 10000$.
Ответ: $x \in (0; 0,1) \cup (10000; +\infty)$.

875. 1) $\frac{1}{5-\lg x} + \frac{2}{1+\lg x} < 1;$

2) $\log_3 (2 - 3^{-x}) < x + 1 - \log_3 4;$

3) $\log_{3x+\frac{1}{4}} (1 - 25x^2) > 0;$

4) $\log_{\frac{x-1}{5x-6}} (\sqrt{6}-2x) < 0.$

1)Исходное неравенство: $ \frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} < 1 $.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$. Знаменатели не должны быть равны нулю:$5 - \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq 5 \implies x \neq 10^5$.$1 + \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0.1$.ОДЗ: $x \in (0; 0.1) \cup (0.1; 10^5) \cup (10^5; +\infty)$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство примет вид:$ \frac{1}{5 - t} + \frac{2}{1 + t} < 1 $
Перенесем 1 в левую часть и приведем все к общему знаменателю:$ \frac{1(1+t) + 2(5-t) - 1(5-t)(1+t)}{(5-t)(1+t)} < 0 $
$ \frac{1+t + 10-2t - (5+5t-t-t^2)}{(5-t)(1+t)} < 0 $
$ \frac{11-t - (5+4t-t^2)}{(5-t)(1+t)} < 0 $
$ \frac{11-t - 5-4t+t^2}{(5-t)(1+t)} < 0 $
$ \frac{t^2 - 5t + 6}{(5-t)(1+t)} < 0 $
Разложим числитель на множители: $t^2 - 5t + 6 = (t-2)(t-3)$.$ \frac{(t-2)(t-3)}{(5-t)(1+t)} < 0 $
Для удобства решения методом интервалов изменим знак в знаменателе, поменяв знак неравенства:$ \frac{(t-2)(t-3)}{-(t-5)(t+1)} < 0 \implies \frac{(t-2)(t-3)}{(t-5)(t+1)} > 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отмечаем точки $t=-1, t=2, t=3, t=5$. Они разбивают ось на 5 интервалов. Определив знаки на каждом интервале, получаем решение:$t \in (-\infty; -1) \cup (2; 3) \cup (5; +\infty)$.
Выполним обратную замену $t = \lg x$:
1. $\lg x < -1 \implies x < 10^{-1} \implies x < 0.1$.
2. $2 < \lg x < 3 \implies 10^2 < x < 10^3 \implies 100 < x < 1000$.
3. $\lg x > 5 \implies x > 10^5$.
Учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in (0; 0.1) \cup (100; 1000) \cup (10^5; +\infty)$.

2)Исходное неравенство: $ \log_3 (2 - 3^{-x}) < x + 1 - \log_3 4 $.
ОДЗ: $2 - 3^{-x} > 0 \implies 2 > 3^{-x} \implies 2 > \frac{1}{3^x} \implies 3^x > \frac{1}{2} \implies x > \log_3(\frac{1}{2}) \implies x > -\log_3 2$.
Преобразуем неравенство:$ \log_3 (2 - 3^{-x}) + \log_3 4 < x + 1 $
$ \log_3 (4(2 - 3^{-x})) < x + \log_3 3 $
$ \log_3 (8 - 4 \cdot 3^{-x}) < \log_3(3^x) + \log_3 3 $
$ \log_3 (8 - 4 \cdot 3^{-x}) < \log_3(3 \cdot 3^x) $
Так как основание логарифма $3>1$, знак неравенства сохраняется:$ 8 - 4 \cdot 3^{-x} < 3 \cdot 3^x $
Сделаем замену $y = 3^x$. Так как $x > -\log_3 2$, то $y > 3^{-\log_3 2} = 3^{\log_3(1/2)} = 1/2$.$ 8 - \frac{4}{y} < 3y $
Умножим обе части на $y$ (так как $y > 1/2 > 0$):$ 8y - 4 < 3y^2 $
$ 3y^2 - 8y + 4 > 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $3y^2 - 8y + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.$y_1 = \frac{8-4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $y_2 = \frac{8+4}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $y < \frac{2}{3}$ или $y > 2$.Учитывая условие $y > 1/2$, получаем: $ \frac{1}{2} < y < \frac{2}{3} $ или $y > 2$.
Возвращаемся к переменной $x$:1. $ \frac{1}{2} < 3^x < \frac{2}{3} \implies \log_3(\frac{1}{2}) < x < \log_3(\frac{2}{3}) \implies -\log_3 2 < x < \log_3 2 - 1 $.
2. $ 3^x > 2 \implies x > \log_3 2 $.

Ответ: $x \in (-\log_3 2; \log_3 2 - 1) \cup (\log_3 2; +\infty)$.

3)Исходное неравенство: $ \log_{3x + \frac{1}{4}} (1 - 25x^2) > 0 $.
Данное логарифмическое неравенство равносильно совокупности двух систем уравнений, основанной на свойствах логарифмической функции.
Случай 1: Основание больше 1, и аргумент больше 1.$ \begin{cases} 3x + \frac{1}{4} > 1 \\ 1 - 25x^2 > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > \frac{3}{4} \\ -25x^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x^2 < 0 \end{cases} $. Второе неравенство системы не имеет решений, значит и вся система не имеет решений.
Случай 2: Основание от 0 до 1, и аргумент от 0 до 1.$ \begin{cases} 0 < 3x + \frac{1}{4} < 1 \\ 0 < 1 - 25x^2 < 1 \end{cases} $.
Решим первое двойное неравенство:$ 0 < 3x + \frac{1}{4} < 1 \implies -\frac{1}{4} < 3x < \frac{3}{4} \implies -\frac{1}{12} < x < \frac{1}{4} $.
Решим второе двойное неравенство:$ 0 < 1 - 25x^2 < 1 $. Это система из двух неравенств:$ 1 - 25x^2 > 0 \implies 25x^2 < 1 \implies x^2 < \frac{1}{25} \implies -\frac{1}{5} < x < \frac{1}{5} $.
$ 1 - 25x^2 < 1 \implies -25x^2 < 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0 $.Объединяя, получаем $ x \in (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{5}) $.
Теперь найдем пересечение решений для случая 2:$ (-\frac{1}{12}; \frac{1}{4}) \cap ((-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{5})) $.Так как $-\frac{1}{5} = -0.2$, а $-\frac{1}{12} \approx -0.083$, то $-\frac{1}{5} < -\frac{1}{12}$.Так как $\frac{1}{5} = 0.2$, а $\frac{1}{4} = 0.25$, то $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$.Пересечение интервалов дает: $x \in (-\frac{1}{12}; 0) \cup (0; \frac{1}{5})$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{12}; 0) \cup (0; \frac{1}{5})$.

4)Исходное неравенство: $ \log_{\frac{x-1}{5x-6}} (\sqrt{6-2x}) < 0 $.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
Случай 1: Основание больше 1, аргумент от 0 до 1.$ \begin{cases} \frac{x-1}{5x-6} > 1 \\ 0 < \sqrt{6-2x} < 1 \end{cases} $
Случай 2: Основание от 0 до 1, аргумент больше 1.$ \begin{cases} 0 < \frac{x-1}{5x-6} < 1 \\ \sqrt{6-2x} > 1 \end{cases} $
Решим случай 1:Первое неравенство: $ \frac{x-1}{5x-6} - 1 > 0 \implies \frac{x-1 - (5x-6)}{5x-6} > 0 \implies \frac{-4x+5}{5x-6} > 0 \implies \frac{4x-5}{5x-6} < 0 $. Решение: $x \in (\frac{6}{5}; \frac{5}{4}) $.
Второе неравенство: $ 0 < \sqrt{6-2x} < 1 \implies 0 < 6-2x < 1 $. Из $6-2x<1$ следует $5<2x$, то есть $x > 2.5$.Пересечения интервалов $ (\frac{6}{5}; \frac{5}{4}) $ и $ (2.5; 3) $ нет. Система 1 не имеет решений.
Решим случай 2:Первое двойное неравенство $ 0 < \frac{x-1}{5x-6} < 1 $. Оно распадается на два:$ \frac{x-1}{5x-6} > 0 \implies x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{6}{5}; +\infty) $.
$ \frac{x-1}{5x-6} < 1 \implies \frac{4x-5}{5x-6} > 0 \implies x \in (-\infty; \frac{6}{5}) \cup (\frac{5}{4}; +\infty) $.
Пересечение этих решений дает $ x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; +\infty) $.
Второе неравенство: $ \sqrt{6-2x} > 1 \implies 6-2x > 1 \implies 5 > 2x \implies x < \frac{5}{2} $.
Теперь найдем пересечение решений для случая 2:$ ((-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; +\infty)) \cap (-\infty; \frac{5}{2}) $.
Это дает $ x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; \frac{5}{2}) $.Это решение удовлетворяет ОДЗ ($6-2x>0 \implies x<3$).
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; \frac{5}{2})$.

876. $\frac{2}{3^x - 1} \le \frac{7}{9^x - 2}$

Данное неравенство является показательным. $$ \frac{2}{3^x - 1} \le \frac{7}{9^x - 2} $$ Для его решения сделаем замену переменной. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=a^x$ при $a>0, a \neq 1$ принимает только положительные значения, то $t > 0$. С учетом замены, исходное неравенство принимает вид: $$ \frac{2}{t - 1} \le \frac{7}{t^2 - 2} $$

Перед решением определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю: $t - 1 \neq 0 \implies t \neq 1$ $t^2 - 2 \neq 0 \implies t^2 \neq 2 \implies t \neq \sqrt{2}$ (учитывая, что $t > 0$).

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю: $$ \frac{2}{t - 1} - \frac{7}{t^2 - 2} \le 0 $$ $$ \frac{2(t^2 - 2) - 7(t - 1)}{(t - 1)(t^2 - 2)} \le 0 $$ $$ \frac{2t^2 - 4 - 7t + 7}{(t - 1)(t^2 - 2)} \le 0 $$ $$ \frac{2t^2 - 7t + 3}{(t - 1)(t^2 - 2)} \le 0 $$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни числителя $2t^2 - 7t + 3 = 0$ через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. Корни $t_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$. Следовательно, $2t^2 - 7t + 3 = 2(t - \frac{1}{2})(t - 3)$.

Знаменатель $t^2 - 2$ раскладывается по формуле разности квадратов: $t^2 - 2 = (t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})$. Неравенство приобретает вид: $$ \frac{2(t - \frac{1}{2})(t - 3)}{(t - 1)(t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})} \le 0 $$

Так как по условию замены $t > 0$, множитель $(t + \sqrt{2})$ всегда положителен. Можем разделить обе части неравенства на $2(t + \sqrt{2})$ без изменения знака неравенства: $$ \frac{(t - \frac{1}{2})(t - 3)}{(t - 1)(t - \sqrt{2})} \le 0 $$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. На числовой оси отметим нули числителя (точки $t = \frac{1}{2}, t = 3$, они будут входить в решение) и нули знаменателя (точки $t = 1, t = \sqrt{2}$, они будут выколоты). Расположим точки в порядке возрастания: $\frac{1}{2}, 1, \sqrt{2}, 3$. Определим знаки выражения на получившихся интервалах, учитывая, что $t>0$:

• При $t \in (3, +\infty)$ выражение положительно.
• При $t \in (\sqrt{2}, 3]$ выражение отрицательно или равно нулю. Этот интервал подходит.
• При $t \in (1, \sqrt{2})$ выражение положительно.
• При $t \in [\frac{1}{2}, 1)$ выражение отрицательно или равно нулю. Этот интервал подходит.
• При $t \in (0, \frac{1}{2})$ выражение положительно.

Таким образом, решение для $t$: $t \in [\frac{1}{2}, 1) \cup (\sqrt{2}, 3]$.

Выполним обратную замену $t = 3^x$. Это приводит к совокупности двух систем неравенств: $$ \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{2} \le 3^x < 1 \\ \sqrt{2} < 3^x \le 3 \end{array} \right. $$

Решим первое двойное неравенство: $\frac{1}{2} \le 3^x < 1$. Прологарифмируем все части по основанию 3. Так как основание $3 > 1$, знаки неравенства сохраняются. $$ \log_3(\frac{1}{2}) \le \log_3(3^x) < \log_3(1) $$ $$ -\log_3(2) \le x < 0 $$

Решим второе двойное неравенство: $\sqrt{2} < 3^x \le 3$. Аналогично логарифмируем по основанию 3: $$ \log_3(\sqrt{2}) < \log_3(3^x) \le \log_3(3) $$ $$ \log_3(2^{1/2}) < x \le 1 $$ $$ \frac{1}{2}\log_3(2) < x \le 1 $$

Объединение найденных решений для $x$ является ответом к исходному неравенству.

Ответ: $x \in [-\log_3(2); 0) \cup (\frac{1}{2}\log_3(2); 1]$.

877. $4^x(\sqrt{16^{1-x}-1}+2) < 4|4^x-1|$.

Решим неравенство $4^x(\sqrt{16^{1-x}-1}+2) < 4|4^x-1|$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$16^{1-x} - 1 \ge 0$
$16^{1-x} \ge 1$
$16^{1-x} \ge 16^0$
Так как основание степени $16 > 1$, то переходим к неравенству для показателей:
$1-x \ge 0$
$x \le 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 1]$.

2. Замена переменной

Сделаем замену $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Учтем ОДЗ: если $x \le 1$, то $4^x \le 4^1$, следовательно $t \le 4$.
Итак, для переменной $t$ имеем ограничение: $0 < t \le 4$.
Преобразуем выражение под корнем: $16^{1-x} = 16 \cdot 16^{-x} = 16 \cdot (4^2)^{-x} = 16 \cdot (4^x)^{-2} = \frac{16}{(4^x)^2} = \frac{16}{t^2}$.
Подставим замену в исходное неравенство:
$t(\sqrt{\frac{16}{t^2}-1}+2) < 4|t-1|$
Преобразуем выражение в скобках:
$t(\sqrt{\frac{16-t^2}{t^2}}+2) < 4|t-1|$
Так как $t > 0$, то $\sqrt{t^2}=t$:
$t(\frac{\sqrt{16-t^2}}{t}+2) < 4|t-1|$
Раскроем скобки в левой части:
$\sqrt{16-t^2} + 2t < 4|t-1|$

3. Решение неравенства с модулем

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $t-1$.

Случай 1: $t-1 \ge 0$, то есть $t \ge 1$.
С учетом ограничений на $t$, рассматриваем интервал $1 \le t \le 4$.
На этом интервале $|t-1| = t-1$. Неравенство принимает вид:
$\sqrt{16-t^2} + 2t < 4(t-1)$
$\sqrt{16-t^2} < 4t - 4 - 2t$
$\sqrt{16-t^2} < 2t - 4$
Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(t)} < g(t)$, которое равносильно системе:
$\begin{cases} 16-t^2 \ge 0 \\ 2t-4 > 0 \\ 16-t^2 < (2t-4)^2 \end{cases}$
Решаем систему:
1) $16-t^2 \ge 0 \implies t^2 \le 16 \implies -4 \le t \le 4$. С учетом $t>0$, получаем $0 < t \le 4$.
2) $2t-4 > 0 \implies 2t > 4 \implies t > 2$.
3) $16-t^2 < 4t^2 - 16t + 16 \implies 0 < 5t^2 - 16t \implies t(5t-16) > 0$. Корни $t=0$ и $t=16/5=3.2$. Решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{16}{5}, +\infty)$.
Пересекаем все условия для этого случая: $t \in [1, 4]$, $t \in (2, +\infty)$, $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{16}{5}, +\infty)$.
Общим решением для первого случая будет интервал $t \in (\frac{16}{5}, 4]$.

Случай 2: $t-1 < 0$, то есть $t < 1$.
С учетом ограничений на $t$, рассматриваем интервал $0 < t < 1$.
На этом интервале $|t-1| = -(t-1) = 1-t$. Неравенство принимает вид:
$\sqrt{16-t^2} + 2t < 4(1-t)$
$\sqrt{16-t^2} < 4 - 4t - 2t$
$\sqrt{16-t^2} < 4 - 6t$
Аналогично первому случаю, решаем систему:
$\begin{cases} 16-t^2 \ge 0 \\ 4-6t > 0 \\ 16-t^2 < (4-6t)^2 \end{cases}$
Решаем систему:
1) $0 < t \le 4$.
2) $4-6t > 0 \implies 4 > 6t \implies t < \frac{4}{6} \implies t < \frac{2}{3}$.
3) $16-t^2 < 16 - 48t + 36t^2 \implies 0 < 37t^2 - 48t \implies t(37t-48) > 0$. Корни $t=0$ и $t=48/37 \approx 1.3$. Решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{48}{37}, +\infty)$.
Пересекаем все условия для этого случая: $t \in (0, 1)$, $t \in (-\infty, \frac{2}{3})$, $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{48}{37}, +\infty)$.
Интервал $t \in (0, 1) \cap (-\infty, \frac{2}{3})$ дает $t \in (0, \frac{2}{3})$.
Теперь пересечем $t \in (0, \frac{2}{3})$ с $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{48}{37}, +\infty)$. Так как $\frac{2}{3} \approx 0.67$ и $\frac{48}{37} \approx 1.3$, пересечение пустое.
Во втором случае решений нет.

4. Обратная замена

Единственное решение для $t$ — это $t \in (\frac{16}{5}, 4]$.
Вернемся к переменной $x$, где $t=4^x$:
$\frac{16}{5} < 4^x \le 4$
Прологарифмируем все части неравенства по основанию 4. Так как основание $4>1$, знаки неравенства сохраняются.
$\log_4(\frac{16}{5}) < \log_4(4^x) \le \log_4(4)$
$\log_4(16) - \log_4(5) < x \le 1$
$2 - \log_4(5) < x \le 1$
Полученный интервал полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \le 1$).

Ответ: $x \in (2-\log_4(5), 1]$.

Вычислить (878–882).

878. 1) $\log_{15} 225$; 2) $\log_4 256$; 3) $\log_3 \frac{1}{243}$; 4) $\log_7 \frac{1}{343}$.

1) Вычислим $log_{15} 225$.

По определению логарифма, $log_b a = x$ тогда и только тогда, когда $b^x = a$. В данном случае нам нужно найти такое число $x$, что $15^x = 225$.

Так как $15^2 = 15 \cdot 15 = 225$, мы можем записать уравнение в виде $15^x = 15^2$.

Приравнивая показатели степени, получаем $x=2$.

Ответ: 2

2) Вычислим $log_4 256$.

Согласно определению логарифма, мы ищем такое число $x$, что $4^x = 256$.

Представим число 256 как степень с основанием 4. Последовательно возводя 4 в степень, находим: $4^1 = 4$, $4^2 = 16$, $4^3 = 64$, $4^4 = 256$.

Таким образом, наше уравнение принимает вид $4^x = 4^4$.

Отсюда следует, что $x=4$.

Ответ: 4

3) Вычислим $log_3 \frac{1}{243}$.

По определению логарифма, мы ищем такое число $x$, что $3^x = \frac{1}{243}$.

Сначала найдем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 243. Мы знаем, что $3^5 = 243$.

Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Получаем: $\frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5}$.

Подставляем это в наше уравнение: $3^x = 3^{-5}$.

Следовательно, $x = -5$.

Ответ: -5

4) Вычислим $log_7 \frac{1}{343}$.

По определению логарифма, мы ищем такое число $x$, что $7^x = \frac{1}{343}$.

Найдем степень, в которую нужно возвести 7, чтобы получить 343. Известно, что $7^3 = 343$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать: $\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$.

Таким образом, уравнение $7^x = \frac{1}{343}$ становится $7^x = 7^{-3}$.

Отсюда получаем $x = -3$.

Ответ: -3

879. 1) $\log_{\frac{1}{4}} 64$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 81$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$;

4) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64}$.

1) Чтобы найти значение выражения $ \log_{\frac{1}{4}} 64 $, нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{4} $, чтобы получить число 64.
Запишем это в виде уравнения: $ (\frac{1}{4})^x = 64 $.
Представим основание $ \frac{1}{4} $ и число 64 в виде степеней с одинаковым основанием, например, 4.
$ \frac{1}{4} = 4^{-1} $
$ 64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 $
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$ (4^{-1})^x = 4^3 $
$ 4^{-x} = 4^3 $
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$ -x = 3 $
$ x = -3 $
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{4}} 64 = -3 $.
Ответ: -3

2) Найдем значение выражения $ \log_{\frac{1}{3}} 81 $. Обозначим его за $x$:
$ \log_{\frac{1}{3}} 81 = x $
По определению логарифма, это равносильно уравнению:
$ (\frac{1}{3})^x = 81 $
Приведем обе части уравнения к основанию 3.
$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $
$ 81 = 3^4 $
Подставим в уравнение:
$ (3^{-1})^x = 3^4 $
$ 3^{-x} = 3^4 $
Приравниваем показатели степеней:
$ -x = 4 $
$ x = -4 $
Значит, $ \log_{\frac{1}{3}} 81 = -4 $.
Ответ: -4

3) Найдем значение выражения $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} $. Пусть оно равно $x$:
$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = x $
Из определения логарифма следует:
$ (\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27} $
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $ \frac{1}{3} $.
$ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3 $
Получаем уравнение:
$ (\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^3 $
Так как основания равны, то и показатели степеней должны быть равны:
$ x = 3 $
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3 $.
Ответ: 3

4) Найдем значение выражения $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} $. Обозначим его за $x$:
$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = x $
По определению логарифма:
$ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64} $
Приведем правую часть к основанию $ \frac{1}{2} $.
Так как $ 64 = 2^6 $, то $ \frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = (\frac{1}{2})^6 $.
Наше уравнение принимает вид:
$ (\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^6 $
Приравниваем показатели:
$ x = 6 $
Таким образом, $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = 6 $.
Ответ: 6

880. 1) $\log_{11} 1$;

2) $\log_7 7$;

3) $\log_{16} 64$;

4) $\log_{27} 9$.

1) Чтобы найти значение $log_{11}1$, нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 11, чтобы получить 1. Пусть $log_{11}1 = x$. По определению логарифма это эквивалентно уравнению $11^x = 1$. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому $x=0$.
Ответ: 0

2) Чтобы найти значение $log_{7}7$, нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 7, чтобы получить 7. Пусть $log_{7}7 = x$. По определению логарифма это эквивалентно уравнению $7^x = 7$. Очевидно, что $x=1$, так как $7^1 = 7$. Это также следует из свойства логарифма $log_{a}a = 1$.
Ответ: 1

3) Чтобы найти значение $log_{16}64$, нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести 16, чтобы получить 64. Запишем уравнение: $16^x = 64$. Для его решения представим числа 16 и 64 как степени одного и того же основания, например, 4. $16 = 4^2$ и $64 = 4^3$. Подставим эти значения в уравнение: $(4^2)^x = 4^3$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $4^{2x} = 4^3$. Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: $2x = 3$. Отсюда $x = \frac{3}{2}$.
Можно также использовать свойство логарифма $log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}log_a b$: $log_{16}64 = log_{2^4}2^6 = \frac{6}{4}log_2 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

4) Чтобы найти значение $log_{27}9$, нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести 27, чтобы получить 9. Запишем уравнение: $27^x = 9$. Представим 27 и 9 как степени одного основания, в данном случае 3. $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Подставим в уравнение: $(3^3)^x = 3^2$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^{3x} = 3^2$. Приравняем показатели степеней: $3x = 2$. Отсюда $x = \frac{2}{3}$.
Можно также использовать свойство логарифма $log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}log_a b$: $log_{27}9 = log_{3^3}3^2 = \frac{2}{3}log_3 3 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

881. 1) $(0.1)^{-\lg 0.3}$

2) $10^{-\lg 4}$

3) $5^{-\log_5 3}$

4) $\left(\frac{1}{6}\right)^{-\log_6 4}$

1) Чтобы вычислить $(0,1)^{-\lg 0,3}$, мы будем использовать основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
Во-первых, представим основание степени $0,1$ в виде степени числа 10: $0,1 = 10^{-1}$.
Во-вторых, вспомним, что $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть $\lg 0,3 = \log_{10} 0,3$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(0,1)^{-\lg 0,3} = (10^{-1})^{-\log_{10} 0,3}$
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, мы можем перемножить показатели:
$10^{(-1) \cdot (-\log_{10} 0,3)} = 10^{\log_{10} 0,3}$
Наконец, применяем основное логарифмическое тождество:
$10^{\log_{10} 0,3} = 0,3$
Ответ: 0,3

2) Для вычисления $10^{-\lg 4}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и основным логарифмическим тождеством.
Преобразуем выражение:
$10^{-\lg 4} = \frac{1}{10^{\lg 4}}$
Знаменатель $10^{\lg 4}$ можно упростить. Так как $\lg 4 = \log_{10} 4$, по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем:
$10^{\log_{10} 4} = 4$
Подставив это значение обратно, получаем:
$\frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Для выражения $5^{-\log_5 3}$ применим тот же подход, что и в предыдущем задании.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-\log_5 3} = \frac{1}{5^{\log_5 3}}$
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к знаменателю. Здесь основание степени (5) совпадает с основанием логарифма (5).
$5^{\log_5 3} = 3$
Таким образом, результат:
$\frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

4) Чтобы решить $(\frac{1}{6})^{-\log_6 4}$, необходимо привести основание степени к основанию логарифма.
Представим основание $\frac{1}{6}$ как степень числа 6: $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{1}{6})^{-\log_6 4} = (6^{-1})^{-\log_6 4}$
Теперь воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и перемножим показатели:
$6^{(-1) \cdot (-\log_6 4)} = 6^{\log_6 4}$
Основание степени (6) и основание логарифма (6) совпадают, поэтому мы можем применить основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 4} = 4$
Ответ: 4

882. 1) $4 \log_{\frac{1}{2}} 3 - \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 - 2 \log_{\frac{1}{2}} 6;$

2) $\frac{2}{3} \lg 0,001 + \lg \sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}.$

1) $4 \log_{\frac{1}{2}} 3 - \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 - 2 \log_{\frac{1}{2}} 6$

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала применим свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$ к каждому слагаемому:

$4 \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} 3^4 = \log_{\frac{1}{2}} 81$

$\frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 = \log_{\frac{1}{2}} 27^{\frac{2}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} (3^3)^{\frac{2}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} 3^2 = \log_{\frac{1}{2}} 9$

$2 \log_{\frac{1}{2}} 6 = \log_{\frac{1}{2}} 6^2 = \log_{\frac{1}{2}} 36$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\log_{\frac{1}{2}} 81 - \log_{\frac{1}{2}} 9 - \log_{\frac{1}{2}} 36$

Далее используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$(\log_{\frac{1}{2}} 81 - \log_{\frac{1}{2}} 9) - \log_{\frac{1}{2}} 36 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{81}{9} - \log_{\frac{1}{2}} 36 = \log_{\frac{1}{2}} 9 - \log_{\frac{1}{2}} 36$

Применяем свойство разности логарифмов еще раз:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{9}{36} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$

Чтобы найти значение этого логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести основание $\frac{1}{2}$, чтобы получить $\frac{1}{4}$?

$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4}$

$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^2$

$x = 2$

Следовательно, $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$.

Ответ: 2

2) $\frac{2}{3} \lg 0,001 + \lg \sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{2}{3} \lg 0,001$.

Так как $0,001 = 10^{-3}$, то $\lg 0,001 = \lg 10^{-3} = -3$.

$\frac{2}{3} \lg 0,001 = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$.

Второе слагаемое: $\lg \sqrt[3]{1000}$.

Так как $\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$, то $\lg \sqrt[3]{1000} = \lg 10 = 1$.

Третье слагаемое: $-\frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}$.

Так как $\sqrt{10000} = \sqrt{10^4} = 10^2 = 100$, то $\lg \sqrt{10000} = \lg 100 = \lg 10^2 = 2$.

$-\frac{3}{5} \lg \sqrt{10000} = -\frac{3}{5} \cdot 2 = -\frac{6}{5} = -1,2$.

Теперь сложим все полученные значения:

$-2 + 1 - 1,2 = -1 - 1,2 = -2,2$.

Ответ: -2,2

883. Вычислить с помощью микрокалькулятора:

1) $\log_8 7$;

2) $\log_3 12$;

3) $\log_{1,3} 0,17$;

4) $\log_{0,3} 8,1$.

Для вычисления логарифмов по произвольному основанию с помощью микрокалькулятора используется формула перехода к новому основанию. Чаще всего для вычислений используют натуральный логарифм ($ln$) или десятичный логарифм ($lg$), так как соответствующие функции есть на большинстве калькуляторов. Формула перехода к натуральному логарифму имеет вид:

$log_a b = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$

Воспользуемся этой формулой для решения каждого из пунктов, округляя конечные результаты до четырех знаков после запятой.

1) Для вычисления $log_8 7$ применим формулу перехода к основанию $e$: $log_8 7 = \frac{\ln(7)}{\ln(8)}$. С помощью калькулятора находим приближенные значения: $\ln(7) \approx 1,9459$ и $\ln(8) \approx 2,0794$. Далее выполняем деление: $log_8 7 \approx \frac{1,9459}{2,0794} \approx 0,9358$.

Ответ: $log_8 7 \approx 0,9358$

2) Для вычисления $log_3 12$ применим формулу перехода к основанию $e$: $log_3 12 = \frac{\ln(12)}{\ln(3)}$. С помощью калькулятора находим приближенные значения: $\ln(12) \approx 2,4849$ и $\ln(3) \approx 1,0986$. Далее выполняем деление: $log_3 12 \approx \frac{2,4849}{1,0986} \approx 2,2619$.

Ответ: $log_3 12 \approx 2,2619$

3) Для вычисления $log_{1,3} 0,17$ применим формулу перехода к основанию $e$: $log_{1,3} 0,17 = \frac{\ln(0,17)}{\ln(1,3)}$. С помощью калькулятора находим приближенные значения: $\ln(0,17) \approx -1,7720$ и $\ln(1,3) \approx 0,2624$. Далее выполняем деление: $log_{1,3} 0,17 \approx \frac{-1,7720}{0,2624} \approx -6,7530$. (Для большей точности: $\ln(0,17) \approx -1.771956$, $\ln(1,3) \approx 0.262364$, частное $\approx -6.7557$)

Ответ: $log_{1,3} 0,17 \approx -6,7557$

4) Для вычисления $log_{0,3} 8,1$ применим формулу перехода к основанию $e$: $log_{0,3} 8,1 = \frac{\ln(8,1)}{\ln(0,3)}$. С помощью калькулятора находим приближенные значения: $\ln(8,1) \approx 2,0919$ и $\ln(0,3) \approx -1,2040$. Далее выполняем деление: $log_{0,3} 8,1 \approx \frac{2,0919}{-1,2040} \approx -1,7375$.

Ответ: $log_{0,3} 8,1 \approx -1,7375$