Страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

924. Нормальное атмосферное давление P на высоте h над уровнем моря определяется по формуле $P = P_0 e^{-\frac{\mu g h}{RT}}$, где

$P_0 \approx 760 \text{ мм рт. ст.}$ — нормальное атмосферное давление на уровне моря, $\mu \approx 0,029 \text{ кг/моль}$ — молярная масса воздуха, $R = 8,31 \text{ Дж/моль} \cdot K^\circ$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура воздуха (в градусах Кельвина), $h$ — высота над уровнем моря (в метрах).

1) Выразить из формулы величину h.

2) Найти высоту h над уровнем моря того места в Москве, где $P = 742 \text{ мм рт. ст.}, t = 27^\circ C$.

1) Выразить из формулы величину h.

Дана барометрическая формула, определяющая давление $P$ на высоте $h$:

$P = P_0 e^{-\frac{\mu gh}{RT}}$

Для того чтобы выразить высоту $h$, выполним следующие преобразования. Сначала разделим обе части уравнения на $P_0$ (давление на уровне моря):

$\frac{P}{P_0} = e^{-\frac{\mu gh}{RT}}$

Далее, чтобы избавиться от экспоненциальной функции, возьмем натуральный логарифм ($\ln$) от обеих частей уравнения:

$\ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = \ln\left(e^{-\frac{\mu gh}{RT}}\right)$

Поскольку натуральный логарифм и экспонента являются взаимно обратными функциями ($\ln(e^x) = x$), правая часть уравнения упрощается:

$\ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\frac{\mu gh}{RT}$

Теперь выразим $h$, умножив обе части на $-\frac{RT}{\mu g}$:

$h = -\frac{RT}{\mu g} \ln\left(\frac{P}{P_0}\right)$

Используя свойство логарифмов $-\ln(a/b) = \ln(b/a)$, можно представить формулу в более удобном виде без знака "минус" перед выражением:

$h = \frac{RT}{\mu g} \ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$

Ответ: $h = \frac{RT}{\mu g} \ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$

2) Найти высоту h над уровнем моря того места в Москве, где P = 742 мм рт. ст., t = 27 °C.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся формулой, полученной в предыдущем пункте:

$h = \frac{RT}{\mu g} \ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$

Сначала подготовим все необходимые данные для подстановки в формулу. Температура дана в градусах Цельсия, а в формуле используется абсолютная температура в Кельвинах. Переведем температуру:

$T(\text{К}) = t(°\text{C}) + 273.15$

Для упрощения расчетов, как это принято во многих задачах, будем использовать приближение $T(\text{К}) \approx t(°\text{C}) + 273$.

$T = 27 + 273 = 300$ К

Используем известные из условия и стандартные физические константы:

$P_0 = 760$ мм рт. ст. (нормальное давление на уровне моря)

$P = 742$ мм рт. ст. (давление в Москве)

$\mu = 0.029$ кг/моль (молярная масса воздуха)

$R = 8.31$ Дж/(моль·К) (универсальная газовая постоянная)

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения, стандартное значение)

Теперь подставим все значения в формулу:

$h = \frac{8.31 \cdot 300}{0.029 \cdot 9.8} \ln\left(\frac{760}{742}\right)$

Выполним вычисления по шагам. Сначала рассчитаем множитель перед логарифмом:

$\frac{RT}{\mu g} = \frac{2493}{0.2842} \approx 8771.99$ м

Затем рассчитаем значение натурального логарифма:

$\ln\left(\frac{760}{742}\right) \approx \ln(1.02425876) \approx 0.023971$

Наконец, перемножим полученные значения, чтобы найти высоту $h$:

$h \approx 8771.99 \cdot 0.023971 \approx 210.29$ м

Округляя результат до целого значения, получаем высоту около 210 метров.

Ответ: $h \approx 210$ м

1. Что называется логарифмом числа $5$ по основанию $2$?

1. Логарифмом числа б по основанию 2 называется показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить число б.

Это определение можно записать в виде математического тождества. Если мы обозначим логарифм числа б по основанию 2 как c, то есть $c = \log_2 б$, то это будет равносильно следующему показательному равенству: $2^c = б$.

Для существования логарифма необходимо, чтобы число под знаком логарифма было строго положительным, то есть $б > 0$. Основание логарифма, в данном случае 2, также должно удовлетворять условиям: быть больше нуля и не равняться единице ($2 > 0$ и $2 \ne 1$), что выполняется.

Простыми словами, выражение $\log_2 б$ отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить число б?».

Ответ: Логарифмом числа б по основанию 2 называется такое число $c$, что $2^c = б$, при условии, что $б > 0$.

2. Сформулировать основное логарифмическое тождество.

Основное логарифмическое тождество — это равенство, которое является прямым следствием определения логарифма. Оно устанавливает фундаментальную связь между операциями возведения в степень и логарифмирования, которые являются взаимно обратными.

Словесная формулировка тождества звучит так: число $a$, возведенное в степень логарифма числа $b$ по основанию $a$, равно числу $b$.

Математическая запись основного логарифмического тождества:

$$ a^{\log_a b} = b $$

Данное тождество справедливо при соблюдении следующих условий, которые соответствуют области определения логарифмической функции:

• Основание степени и логарифма $a$ должно быть положительным и не равняться единице: $a > 0$, $a \neq 1$.
• Число под знаком логарифма $b$ (аргумент логарифма) должно быть строго положительным: $b > 0$.

Доказательство этого тождества основывается непосредственно на определении логарифма. По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$, обозначаемый как $\log_a b$, есть показатель степени, в которую необходимо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Иными словами, если мы обозначим $\log_a b = c$, то это эквивалентно записи $a^c = b$. Если теперь в это последнее равенство ($a^c = b$) вместо $c$ подставить его первоначальное выражение ($\log_a b$), то мы и получим искомое тождество:

$$ a^{\log_a b} = b $$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Основное логарифмическое тождество записывается формулой $a^{\log_a b} = b$, где основание $a > 0$, $a \neq 1$ и аргумент $b > 0$.

3. Сформулировать основные свойства логарифмов.

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, запись $\log_a b = x$ равносильна записи $a^x = b$.

Основные свойства логарифмов, справедливые при $a > 0, a \neq 1$ и для положительных значений переменных под знаком логарифма:

Основное логарифмическое тождество
Это тождество является прямым следствием определения логарифма. Оно устанавливает связь между операциями возведения в степень и логарифмирования. Для $b > 0$.
Ответ: $a^{\log_a b} = b$

Логарифм произведения
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Для $x > 0, y > 0$.
Ответ: $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Логарифм частного (дроби)
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя по тому же основанию. Для $x > 0, y > 0$.
Ответ: $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$

Логарифм степени
Логарифм числа, возведенного в степень, равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Для $x > 0$ и любого действительного $p$.
Ответ: $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$

Формула перехода к новому основанию
Это свойство позволяет перейти от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию $c$ (где $c>0, c \neq 1$). Для $b>0$.
Ответ: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Также из этих основных свойств вытекает ряд важных следствий и частных случаев:

• Логарифм единицы: Логарифм 1 по любому допустимому основанию равен 0, так как $a^0 = 1$.
  Ответ: $\log_a 1 = 0$
• Логарифм основания: Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1, так как $a^1 = a$.
  Ответ: $\log_a a = 1$
• Следствие из формулы перехода к новому основанию: Позволяет поменять местами основание логарифма и число под знаком логарифма. Для $b > 0, b \neq 1$.
  Ответ: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
• Вынесение показателя степени из основания логарифма: Если основание логарифма представлено в виде степени. Для $x > 0$ и $q \neq 0$.
  Ответ: $\log_{a^q} x = \frac{1}{q} \log_a x$
• Комбинированное свойство для степеней: Объединяет свойство логарифма степени и вынесение показателя из основания. Для $x > 0$ и $q \neq 0$.
  Ответ: $\log_{a^q} x^p = \frac{p}{q} \log_a x$

4. Дать определение десятичного логарифма. Используя специальное обозначение десятичного логарифма, записать $log_{10} 7$.

Дать определение десятичного логарифма.
Десятичным логарифмом положительного числа $b$ называется логарифм этого числа по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа $b$ – это такой показатель степени $x$, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить число $b$.
Это можно выразить следующей формулой: $$ \log_{10} b = x \iff 10^x = b $$ Для десятичного логарифма введено специальное, более короткое обозначение: вместо $\log_{10} b$ принято писать $\lg b$.
Ответ: Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10, который обозначается как $\lg$.

Используя специальное обозначение десятичного логарифма, записать $\log_{10} 7$.
Специальное обозначение для десятичного логарифма, как указано выше, — это $\lg$. Данное обозначение является общепринятой заменой для записи $\log_{10}$.
Следовательно, для того чтобы записать выражение $\log_{10} 7$ с помощью специального обозначения, необходимо заменить оператор $\log_{10}$ на $\lg$. Аргумент логарифма при этом остается неизменным.
Таким образом, получаем: $$ \log_{10} 7 = \lg 7 $$ Ответ: $\lg 7$.

5. Дать определение натурального логарифма. Записать обозначение натурального логарифма числа $x$.

Дать определение натурального логарифма.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — это иррациональная и трансцендентная константа, известная как число Эйлера. Её значение приблизительно равно $2.718281828$.

Таким образом, натуральный логарифм положительного числа $x$ (обозначается как $\ln x$) — это показатель степени $y$, в которую нужно возвести число $e$, чтобы получить $x$. Это можно выразить следующим тождеством:
$y = \ln x \iff e^y = x$.

Натуральный логарифм также можно определить как площадь под кривой графика функции $y = 1/t$ от $1$ до $x$. Это выражается через определенный интеграл:
$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t} dt$ для $x > 0$.

Ответ: Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e (число Эйлера).

Записать обозначение натурального логарифма числа x.

Натуральный логарифм числа $x$ принято обозначать как $\ln x$ или, чтобы избежать неоднозначности, $\ln(x)$. Это обозначение происходит от латинского выражения "logarithmus naturalis" (натуральный логарифм) и является общепринятым стандартом в математике, физике, химии, инженерии и экономике.

Хотя с точки зрения определения логарифма запись $\log_e x$ также корректна и явно указывает на основание, на практике она используется значительно реже.

Ответ: Стандартное обозначение натурального логарифма числа $x$ — это $\ln x$.

6. Чему равно приближённое значение числа $e$:

1) до десятых;

2) до сотых?

Число $e$, также известное как число Эйлера, является фундаментальной математической константой. Это иррациональное число, и его значение с несколькими знаками после запятой равно $e \approx 2.718281828...$

Для нахождения приближенных значений выполним округление.

Чтобы округлить число до десятых, мы должны оставить один знак после запятой. Для этого нужно посмотреть на вторую цифру после запятой. В числе $2.71828...$ это цифра 1.

Согласно правилу округления, если следующая за округляемым разрядом цифра меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то цифра в округляемом разряде не меняется, а все последующие отбрасываются.

Так как $1 < 5$, мы оставляем цифру 7 в разряде десятых без изменений.

Следовательно, приближенное значение числа $e$ до десятых равно 2,7.

Ответ: 2,7

Чтобы округлить число до сотых, мы должны оставить два знака после запятой. Для этого нужно посмотреть на третью цифру после запятой. В числе $2.71828...$ это цифра 8.

Согласно правилу округления, если следующая за округляемым разрядом цифра равна 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу, а все последующие отбрасываются.

Так как $8 \ge 5$, мы должны увеличить цифру в разряде сотых (1) на единицу. Получаем $1+1=2$.

Следовательно, приближенное значение числа $e$ до сотых равно 2,72.

Ответ: 2,72

7. Записать формулу перехода от логарифма числа $k$ по основанию $q$ к логарифмам по основанию $p$.

$\log_q k = \frac{\log_p k}{\log_p q}$

При каких значениях $k, q$ и $p$ имеет смысл эта формула?

Записать формулу перехода от логарифма числа k по основанию q к логарифмам по основанию p.

Формула перехода от логарифма числа $k$ по основанию $q$ к логарифмам по новому основанию $p$ позволяет выразить один логарифм через другие. Эта формула, также известная как формула замены основания логарифма, имеет следующий вид:

$ \log_q k = \frac{\log_p k}{\log_p q} $

Здесь $\log_q k$ — исходный логарифм, а $\log_p k$ и $\log_p q$ — логарифмы по новому основанию $p$.

Ответ: $ \log_q k = \frac{\log_p k}{\log_p q} $.

При каких значениях k, q и p имеет смысл эта формула?

Чтобы данная формула имела смысл, необходимо, чтобы все логарифмические выражения, входящие в нее, были определены, а также чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Это накладывает следующие ограничения на переменные $k$, $q$ и $p$:

1. Условия для существования логарифма в левой части формулы ($\log_q k$). Согласно определению логарифма, число под логарифмом должно быть строго положительным, а основание — строго положительным и не равным единице. Отсюда получаем:
$k > 0$
$q > 0$ и $q \ne 1$

2. Условия для существования логарифмов в правой части формулы ($\log_p k$ и $\log_p q$). Новое основание $p$ также должно быть положительным и не равным единице:
$p > 0$ и $p \ne 1$

3. Условие для знаменателя. Знаменатель дроби $\log_p q$ не должен быть равен нулю. Условие $\log_p q \ne 0$ означает, что $q \ne p^0$, то есть $q \ne 1$. Это требование уже содержится в условиях для основания $q$, перечисленных в пункте 1.

Таким образом, объединяя все вышеперечисленные условия, получаем, что формула имеет смысл, когда все три переменные удовлетворяют своим областям определения для логарифмической функции.

Ответ: Формула имеет смысл при $k > 0$, $q > 0$, $q \ne 1$, $p > 0$ и $p \ne 1$.

8. Какова область определения логарифмической функции?

Логарифмическая функция — это функция вида $y = \log_a(x)$, где $a$ является основанием логарифма, а $x$ — его аргументом (или подлогарифмическим выражением).

Чтобы найти область определения этой функции, то есть все допустимые значения аргумента $x$, удобно обратиться к определению логарифма. Логарифм числа $x$ по основанию $a$ — это такой показатель степени $y$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $x$. Математически это записывается так: $y = \log_a(x) \iff x = a^y$.

Из этого соотношения следует, что логарифмическая функция является обратной к показательной функции $f(y) = a^y$. Область определения одной функции является областью значений для обратной ей функции.

Рассмотрим показательную функцию $x = a^y$. Для нее существуют строгие ограничения на основание $a$: оно должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$. При таких ограничениях на основание, значение степени $a^y$ всегда будет строго положительным для любого действительного показателя $y$. Таким образом, область значений показательной функции — это множество всех положительных чисел: $(0, +\infty)$.

Поскольку область определения логарифмической функции совпадает с областью значений показательной функции, то аргумент $x$ логарифмической функции $y = \log_a(x)$ должен быть строго положительным.

Ответ: Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел. Это условие записывается в виде неравенства $x > 0$ или в виде интервала $(0, +\infty)$.

9. Каково множество значений логарифмической функции?

Логарифмическая функция задается формулой $y = \log_a x$, где $a$ — это основание логарифма, удовлетворяющее условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Множество значений функции — это совокупность всех значений, которые может принимать переменная $y$. Для нахождения множества значений логарифмической функции удобно использовать её связь с показательной (экспоненциальной) функцией.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является обратной по отношению к показательной функции $x = a^y$. Это означает, что область определения одной функции является множеством значений для другой, и наоборот.

Рассмотрим показательную функцию $x = a^y$:

• Её область определения (множество всех допустимых значений аргумента $y$) — это множество всех действительных чисел, то есть $y \in (-\infty, +\infty)$.
• Её множество значений (множество всех значений, которые может принимать функция $x$) — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Так как логарифмическая функция $y = \log_a x$ обратна показательной, её свойства меняются местами:

• Область определения логарифмической функции (аргумент $x$) совпадает с множеством значений показательной: $x \in (0, +\infty)$.
• Множество значений логарифмической функции (значение $y$) совпадает с областью определения показательной: $y \in (-\infty, +\infty)$.

Таким образом, логарифмическая функция может принимать абсолютно любое действительное значение. Это можно показать на примерах. Какое бы действительное число $y_0$ мы ни взяли, мы всегда сможем найти соответствующее ему значение $x_0$ по формуле $x_0 = a^{y_0}$. Поскольку $a > 0$, то $x_0$ всегда будет положительным числом, то есть будет входить в область определения логарифма.

• Если мы хотим получить большое положительное значение, например $y=1000$, мы должны взять $x=a^{1000}$.
• Если мы хотим получить большое по модулю отрицательное значение, например $y=-1000$, мы должны взять $x=a^{-1000}=\frac{1}{a^{1000}}$.
• Если мы хотим получить $y=0$, мы должны взять $x=a^0=1$.

Это доказывает, что $y$ может быть любым числом из множества действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: Множеством значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток $(-\infty, +\infty)$.

10. При каких значениях $a$ логарифмическая функция $y = \log_a x$ является:

1) возрастающей;

2) убывающей?

Свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ напрямую зависят от значения ее основания $a$. По определению, основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, то есть должны выполняться условия $a > 0$ и $a \ne 1$. Это означает, что все возможные значения $a$ делятся на два промежутка: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Монотонность функции (возрастание или убывание) определяется тем, в какой из этих двух промежутков попадает основание $a$.

1) возрастающей

Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Для логарифмической функции $y = \log_a x$ это означает, что из $x_2 > x_1$ следует $\log_a x_2 > \log_a x_1$. Такое поведение функции наблюдается, когда ее основание $a$ больше единицы.

Следовательно, логарифмическая функция является возрастающей при $a > 1$.

Ответ: $a \in (1; +\infty)$.

2) убывающей

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Для логарифмической функции $y = \log_a x$ это означает, что из $x_2 > x_1$ следует $\log_a x_2 < \log_a x_1$. Такое поведение функции наблюдается, когда ее основание $a$ находится в интервале от 0 до 1.

Следовательно, логарифмическая функция является убывающей при $0 < a < 1$.

Ответ: $a \in (0; 1)$.

11. Перечислить промежутки знакопостоянства логарифмической функции $y = \log_a x$ в зависимости от значений числа $a$.

Для определения промежутков знакопостоянства логарифмической функции $y = \log_a x$ необходимо проанализировать ее поведение в зависимости от значения основания $a$. Область определения функции задается условием $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$. Основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$.

Значение функции равно нулю, когда ее аргумент равен 1, так как $\log_a 1 = 0$ для любого допустимого $a$. Точка $x=1$ является точкой смены знака функции. Таким образом, мы должны рассмотреть знаки функции на двух промежутках: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Поведение функции на этих промежутках зависит от того, больше или меньше единицы основание $a$.

Случай 1: $a > 1$

Если основание логарифма больше единицы, то функция $y = \log_a x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Для нахождения промежутка, где $y > 0$, решаем неравенство:
$ \log_a x > 0 $
Представим 0 как логарифм: $0 = \log_a 1$.
$ \log_a x > \log_a 1 $
Так как $a > 1$, функция возрастающая, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$ x > 1 $
Таким образом, при $x \in (1; +\infty)$ функция принимает положительные значения.

Для нахождения промежутка, где $y < 0$, решаем неравенство:
$ \log_a x < 0 $
$ \log_a x < \log_a 1 $
Так как $a > 1$, знак неравенства сохраняется:
$ x < 1 $
С учетом области определения $x > 0$, получаем, что при $x \in (0; 1)$ функция принимает отрицательные значения.

Ответ: при $a > 1$ функция положительна ($y > 0$) на промежутке $(1; +\infty)$ и отрицательна ($y < 0$) на промежутке $(0; 1)$.

Случай 2: $0 < a < 1$

Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Для нахождения промежутка, где $y > 0$, решаем неравенство:
$ \log_a x > 0 $
$ \log_a x > \log_a 1 $
Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$ x < 1 $
С учетом области определения $x > 0$, получаем, что при $x \in (0; 1)$ функция принимает положительные значения.

Для нахождения промежутка, где $y < 0$, решаем неравенство:
$ \log_a x < 0 $
$ \log_a x < \log_a 1 $
Так как $0 < a < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$ x > 1 $
Таким образом, при $x \in (1; +\infty)$ функция принимает отрицательные значения.

Ответ: при $0 < a < 1$ функция положительна ($y > 0$) на промежутке $(0; 1)$ и отрицательна ($y < 0$) на промежутке $(1; +\infty)$.

12. Является ли функция $y=\log_a x$:

1) ограниченной сверху;

2) ограниченной снизу?

Рассмотрим функцию $y = \log_a x$. По определению логарифма, основание $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а аргумент $x$ должен быть строго положительным ($x > 0$). Таким образом, область определения функции $D(y) = (0; +\infty)$.

Ключевым свойством логарифмической функции является ее множество значений (или область значений) — это множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что функция может принимать как сколь угодно большие положительные значения, так и сколь угодно большие по модулю отрицательные значения. Из этого свойства следует, что функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу. Проанализируем каждый случай подробнее.

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Докажем, что для функции $y = \log_a x$ такого числа $M$ не существует. Для этого достаточно показать, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, можно найти такое значение $x_0$, что $\log_a x_0 > M$.

Рассмотрим два возможных случая для основания $a$:

Случай 1: $a > 1$. В этом случае логарифмическая функция является возрастающей. Решим неравенство $\log_a x > M$. Потенцируя обе части по основанию $a$, получаем: $x > a^M$. Так как мы можем выбрать $x$ сколь угодно большим (например, $x_0 = a^M + 1$), то всегда найдется значение аргумента, при котором значение функции превысит любое заданное число $M$. Это означает, что функция не ограничена сверху. В частности, $\lim_{x\to+\infty} \log_a x = +\infty$.

Случай 2: $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция является убывающей. Решим неравенство $\log_a x > M$. При потенцировании по основанию $a < 1$ знак неравенства меняется на противоположный: $x < a^M$. Мы можем выбрать положительное число $x_0$, удовлетворяющее этому условию (например, $x_0 = a^M / 2$). Следовательно, и в этом случае функция не ограничена сверху. В частности, $\lim_{x\to 0^+} \log_a x = +\infty$.

Таким образом, ни при каком допустимом значении $a$ функция $y = \log_a x$ не является ограниченной сверху.

Ответ: нет, функция не является ограниченной сверху.

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Аналогично предыдущему пункту, докажем, что для функции $y = \log_a x$ такого числа $m$ не существует. Для этого покажем, что для любого, сколь угодно большого по модулю отрицательного числа $m$, можно найти такое значение $x_0$, что $\log_a x_0 < m$.

Рассмотрим два возможных случая для основания $a$:

Случай 1: $a > 1$. Логарифмическая функция является возрастающей. Решим неравенство $\log_a x < m$. Потенцируя по основанию $a > 1$, получаем: $x < a^m$. Мы можем выбрать положительное число $x_0$, удовлетворяющее этому условию (например, $x_0 = a^m / 2$). Следовательно, функция может принимать сколь угодно малые значения и не ограничена снизу. В частности, $\lim_{x\to 0^+} \log_a x = -\infty$.

Случай 2: $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей. Решим неравенство $\log_a x < m$. Потенцируя по основанию $a < 1$ и меняя знак неравенства, получаем: $x > a^m$. Мы можем выбрать $x_0$ сколь угодно большим (например, $x_0 = a^m + 1$), поэтому всегда найдется $x$, при котором значение функции будет меньше любого заданного $m$. Следовательно, функция не ограничена снизу. В частности, $\lim_{x\to+\infty} \log_a x = -\infty$.

Таким образом, ни при каком допустимом значении $a$ функция $y = \log_a x$ не является ограниченной снизу.

Ответ: нет, функция не является ограниченной снизу.

13. Через какую точку координатной плоскости проходят графики всех логарифмических функций? Почему?

Графики всех логарифмических функций вида $y = \log_a(x)$ проходят через точку с координатами (1; 0).

Почему?

Логарифмическая функция определяется уравнением $y = \log_a(x)$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). По определению логарифма, это уравнение эквивалентно показательной форме: $a^y = x$.

Чтобы найти точку, которая является общей для графиков всех логарифмических функций, необходимо найти такие координаты $(x; y)$, которые будут удовлетворять уравнению $y = \log_a(x)$ независимо от значения основания $a$.

Рассмотрим значение функции, когда ее аргумент $x$ равен 1. Подставим это значение в уравнение:

$y = \log_a(1)$

Данное выражение означает: "в какую степень нужно возвести число $a$, чтобы получить 1?". Из фундаментальных свойств степеней известно, что любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. То есть, $a^0 = 1$ для любого допустимого основания $a$.

Отсюда следует, что значение $\log_a(1)$ всегда равно 0, каким бы ни было основание $a$.

Таким образом, для любой логарифмической функции при значении абсциссы $x=1$ значение ординаты $y$ всегда будет равно 0. Следовательно, точка с координатами $(1; 0)$ принадлежит графикам всех логарифмических функций.

Ответ: Графики всех логарифмических функций проходят через точку $(1; 0)$.

14. При каких значениях $x$ и $y$ справедливо равенство $log_{7}(xy) = log_{7}x + log_{7}y$?

Равенство $log_7(xy) = log_7 x + log_7 y$ является одним из основных свойств логарифмов, известным как "логарифм произведения". Это тождество справедливо только в том случае, когда все его части определены.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного равенства. Логарифмическая функция $log_a b$ определена, когда ее аргумент строго положителен ($b > 0$), а основание положительно и не равно единице ($a > 0$, $a \neq 1$). В нашем случае основание равно 7, поэтому оно удовлетворяет условиям. Рассмотрим аргументы логарифмов.

Для того чтобы равенство было верным, должны одновременно выполняться три условия:

1) Аргумент логарифма $log_7 x$ должен быть положительным: $x > 0$.

2) Аргумент логарифма $log_7 y$ должен быть положительным: $y > 0$.

3) Аргумент логарифма $log_7(xy)$ должен быть положительным: $xy > 0$.

Объединим эти условия в систему неравенств: $$ \begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \\ xy > 0 \end{cases} $$

Проанализируем эту систему. Если выполняются первые два неравенства ($x > 0$ и $y > 0$), то их произведение $xy$ также будет положительным. Это означает, что третье неравенство $xy > 0$ является следствием первых двух.

Таким образом, вся система равносильна первым двум условиям. Следовательно, исходное равенство справедливо для всех значений $x$ и $y$, удовлетворяющих неравенствам $x > 0$ и $y > 0$.

Ответ: $x > 0$ и $y > 0$.