Номер 11, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

11. Перечислить промежутки знакопостоянства логарифмической функции $y = \log_a x$ в зависимости от значений числа $a$.

Для определения промежутков знакопостоянства логарифмической функции $y = \log_a x$ необходимо проанализировать ее поведение в зависимости от значения основания $a$. Область определения функции задается условием $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$. Основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$.

Значение функции равно нулю, когда ее аргумент равен 1, так как $\log_a 1 = 0$ для любого допустимого $a$. Точка $x=1$ является точкой смены знака функции. Таким образом, мы должны рассмотреть знаки функции на двух промежутках: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Поведение функции на этих промежутках зависит от того, больше или меньше единицы основание $a$.

Случай 1: $a > 1$

Если основание логарифма больше единицы, то функция $y = \log_a x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Для нахождения промежутка, где $y > 0$, решаем неравенство:
$ \log_a x > 0 $
Представим 0 как логарифм: $0 = \log_a 1$.
$ \log_a x > \log_a 1 $
Так как $a > 1$, функция возрастающая, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$ x > 1 $
Таким образом, при $x \in (1; +\infty)$ функция принимает положительные значения.

Для нахождения промежутка, где $y < 0$, решаем неравенство:
$ \log_a x < 0 $
$ \log_a x < \log_a 1 $
Так как $a > 1$, знак неравенства сохраняется:
$ x < 1 $
С учетом области определения $x > 0$, получаем, что при $x \in (0; 1)$ функция принимает отрицательные значения.

Ответ: при $a > 1$ функция положительна ($y > 0$) на промежутке $(1; +\infty)$ и отрицательна ($y < 0$) на промежутке $(0; 1)$.

Случай 2: $0 < a < 1$

Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Для нахождения промежутка, где $y > 0$, решаем неравенство:
$ \log_a x > 0 $
$ \log_a x > \log_a 1 $
Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$ x < 1 $
С учетом области определения $x > 0$, получаем, что при $x \in (0; 1)$ функция принимает положительные значения.

Для нахождения промежутка, где $y < 0$, решаем неравенство:
$ \log_a x < 0 $
$ \log_a x < \log_a 1 $
Так как $0 < a < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$ x > 1 $
Таким образом, при $x \in (1; +\infty)$ функция принимает отрицательные значения.

Ответ: при $0 < a < 1$ функция положительна ($y > 0$) на промежутке $(0; 1)$ и отрицательна ($y < 0$) на промежутке $(1; +\infty)$.