Номер 2, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Построить схематически график функции:

1) $y = \log_{0,3} x;$

2) $y = \log_4 x.$

1) Для построения схематического графика функции $y = \log_{0.3} x$ проанализируем её свойства. Это логарифмическая функция вида $y = \log_a x$ с основанием $a = 0.3$.

Основные свойства:

Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Монотонность: Так как основание $a = 0.3$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Асимптота: График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$). При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).

Ключевые точки:

График любой логарифмической функции $y = \log_a x$ проходит через точку $(1, 0)$, так как $a^0=1$, то есть $\log_{0.3} 1 = 0$.

Найдем еще несколько точек для более точного построения:

при $x=0.3$, $y = \log_{0.3} 0.3 = 1$. Точка $(0.3, 1)$.

при $x = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$, $y = \log_{0.3} (\frac{1}{0.3}) = -1$. Точка $(\frac{10}{3}, -1)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая расположена в I и IV координатных четвертях. Она приближается к оси $Oy$ сверху (при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$), пересекает ось $Ox$ в точке $(1,0)$ и далее плавно убывает, проходя через точку $(\frac{10}{3}, -1)$, стремясь к $-\infty$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Схематический график функции $y = \log_{0.3} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(1,0)$, расположенная в правой полуплоскости ($x>0$) и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$, к которой график стремится вверх.

2) Для построения схематического графика функции $y = \log_{4} x$ проанализируем её свойства. Это логарифмическая функция вида $y = \log_a x$ с основанием $a = 4$.

Основные свойства:

Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Монотонность: Так как основание $a = 4$ удовлетворяет условию $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Асимптота: График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$). При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к минус бесконечности ($y \to -\infty$).

Ключевые точки:

График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{4} 1 = 0$.

Найдем еще несколько точек для более точного построения:

при $x=4$, $y = \log_{4} 4 = 1$. Точка $(4, 1)$.

при $x=16$, $y = \log_{4} 16 = \log_{4} 4^2 = 2$. Точка $(16, 2)$.

при $x=1/4 = 0.25$, $y = \log_{4} (1/4) = -1$. Точка $(0.25, -1)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая расположена в I и IV координатных четвертях. Она приближается к оси $Oy$ снизу (при $x \to 0^+$, $y \to -\infty$), пересекает ось $Ox$ в точке $(1,0)$ и далее плавно возрастает, проходя через точки $(4, 1)$ и $(16, 2)$, стремясь к $+\infty$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Схематический график функции $y = \log_{4} x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1,0)$, расположенная в правой полуплоскости ($x>0$) и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$, к которой график стремится вниз.