Номер 1, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Выяснить, при каких значениях m имеет смысл выражение:

1) $\log_2 (m-1)$;

2) $\log_{m+1} 3$;

3) $\log_m (m-1)$.

Для того чтобы логарифмическое выражение $\log_a b$ имело смысл (было определено), должны выполняться следующие три условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $b > 0$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $a > 0$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \ne 1$.

Применим эти правила к каждому из данных выражений.

1) $\log_2 (m-1)$

В этом выражении основание $a=2$. Проверим условия для основания:

• $2 > 0$ (верно)
• $2 \ne 1$ (верно)

Условия для основания выполняются. Теперь рассмотрим условие для аргумента. Аргумент $b = m-1$. Он должен быть строго положительным:

$m - 1 > 0$

Решим это простое неравенство:

$m > 1$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $m$, больших 1.

Ответ: $m > 1$, или в виде интервала $m \in (1; +\infty)$.

2) $\log_{m+1} 3$

В этом выражении аргумент $b=3$. Проверим условие для аргумента:

• $3 > 0$ (верно)

Условие для аргумента выполняется. Теперь рассмотрим условия для основания. Основание $a = m+1$. На него накладываются два условия:

1. Основание должно быть положительным: $m+1 > 0$. Отсюда $m > -1$.

2. Основание не должно быть равно единице: $m+1 \ne 1$. Отсюда $m \ne 0$.

Мы должны удовлетворить обоим этим условиям одновременно. Это значит, что $m$ должно быть больше $-1$, но при этом не равняться $0$. Объединяя эти условия, получаем два интервала.

Ответ: $m \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $\log_m (m-1)$

В этом выражении и основание, и аргумент зависят от переменной $m$.

Основание $a = m$, аргумент $b = m-1$.

Запишем все три условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases} m-1 > 0 & \text{(аргумент больше нуля)} \\ m > 0 & \text{(основание больше нуля)} \\ m \ne 1 & \text{(основание не равно единице)} \end{cases}$

Решим эту систему:

1. Из первого неравенства $m-1 > 0$ получаем $m > 1$.

2. Второе неравенство: $m > 0$.

3. Третье условие: $m \ne 1$.

Теперь найдем пересечение этих трех условий. Условие $m > 1$ является самым сильным. Если $m > 1$, то условие $m > 0$ выполняется автоматически. Также, если $m$ строго больше 1, то оно не может быть равно 1, так что условие $m \ne 1$ также выполняется автоматически. Следовательно, решением системы является неравенство $m > 1$.

Ответ: $m > 1$, или в виде интервала $m \in (1; +\infty)$.