Номер 5, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Решить систему уравнений

$\begin{cases}3^x \cdot 2^y = 576, \\\log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4.\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы $\log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4$.

Согласно определению логарифма, это уравнение эквивалентно уравнению $y-x = (\sqrt{2})^4$. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), согласно которой аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $y - x > 0$.

Вычислим правую часть: $(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$.

Получаем простое линейное уравнение $y - x = 4$. Отсюда можно выразить $y$: $y = x + 4$.

Заметим, что если $y-x=4$, то условие ОДЗ $y-x > 0$ выполняется автоматически.

Теперь перейдем к первому уравнению системы: $3^x \cdot 2^y = 576$.

Разложим число 576 на простые множители. $576 = 9 \cdot 64 = 3^2 \cdot 2^6$.

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде $3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} y = x + 4 \\ 3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 3^2 \cdot 2^6$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 3^2 \cdot 2^6$

Разделим обе части на $2^4$:

$3^x \cdot 2^x = \frac{3^2 \cdot 2^6}{2^4}$

$3^x \cdot 2^x = 3^2 \cdot 2^{6-4}$

$3^x \cdot 2^x = 3^2 \cdot 2^2$

Применяя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для обеих частей уравнения, получаем:

$(3 \cdot 2)^x = (3 \cdot 2)^2$

$6^x = 6^2$

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$x = 2$.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в выражение $y = x + 4$:

$y = 2 + 4 = 6$.

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 6)$.

Проведем проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения.

Первое уравнение: $3^2 \cdot 2^6 = 9 \cdot 64 = 576$. Верно.

Второе уравнение: $\log_{\sqrt{2}}(6-2) = \log_{\sqrt{2}}(4)$. Так как $(\sqrt{2})^4 = 4$, то $\log_{\sqrt{2}}(4)=4$. Верно.

Ответ: $(2; 6)$.