Номер 6, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Решить неравенство:

1) $\lg (x^2 - 2x - 2) \le 0$;

2) $\log_2 (\log_{\frac{1}{3}} (\log_5 x)) > 0$.

1) $\lg(x^2-2x-2) \le 0$

Решение данного логарифмического неравенства равносильно решению системы неравенств. Во-первых, аргумент логарифма должен быть строго больше нуля (область допустимых значений). Во-вторых, так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, знак неравенства сохраняется при потенцировании. Таким образом, получаем систему:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 2 > 0 \\ x^2 - 2x - 2 \le 10^0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 2x - 2 > 0 \\ x^2 - 2x - 3 \le 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство: $x^2 - 2x - 2 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 2$ направлены вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями:
$x \in (-\infty; 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Второе неравенство: $x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_3 = -1$ и $x_4 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ также направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ между корнями, включая сами корни:
$x \in [-1; 3]$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств, то есть пересечение множеств $(-\infty; 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}; +\infty)$ и $[-1; 3]$.
Оценим значения корней: $1 - \sqrt{3} \approx -0.732$ и $1 + \sqrt{3} \approx 2.732$.
Пересечение множества $[-1; 3]$ с $(-\infty; 1 - \sqrt{3})$ дает промежуток $[-1; 1 - \sqrt{3})$.
Пересечение множества $[-1; 3]$ с $(1 + \sqrt{3}; +\infty)$ дает промежуток $(1 + \sqrt{3}; 3]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-1; 1-\sqrt{3}) \cup (1+\sqrt{3}; 3]$.

2) $\log_2(\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x)) > 0$

Решим это неравенство с вложенными логарифмами последовательно, начиная с внешнего логарифма.

Представим $0$ как $\log_2 1$. Неравенство примет вид:
$\log_2(\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x)) > \log_2 1$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x) > 1$.

Теперь решим полученное неравенство. Представим $1$ как $\log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})$.
$\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x) > \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})$.
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным.
$0 < \log_5 x < \frac{1}{3}$.

Мы получили двойное неравенство. Решим его по частям.
Из левой части $\log_5 x > 0$ (где $0 = \log_5 1$), получаем $\log_5 x > \log_5 1$. Так как основание $5 > 1$, то $x > 1$.
Из правой части $\log_5 x < \frac{1}{3}$, получаем $\log_5 x < \log_5 5^{\frac{1}{3}}$. Так как основание $5 > 1$, то $x < \sqrt[3]{5}$.

Объединяя условия $x > 1$ и $x < \sqrt[3]{5}$, получаем итоговое решение. Наш пошаговый метод решения уже учел все ограничения области допустимых значений (ОДЗ). Для проверки, полная ОДЗ определяется системой: $x>0$, $\log_5 x > 0$ (что дает $x>1$) и $\log_{\frac{1}{3}}(\log_5 x) > 0$ (что дает $0 < \log_5 x < 1$, или $1 < x < 5$). Наше решение $1 < x < \sqrt[3]{5}$ полностью удовлетворяет ОДЗ, так как $1 < \sqrt[3]{5} < 5$.

Ответ: $x \in (1; \sqrt[3]{5})$.