Номер 4, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Решить уравнение:

1) $ \log_{2x+2} (2x^2 - 8x + 6) = 2; $

2) $ (\log_2 x)^2 + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0; $

3) $ \log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \log_x 5 = 1. $

1) $\log_{2x+2}(2x^2 - 8x + 6) = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.

Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} 2x^2 - 8x + 6 > 0 \\ 2x + 2 > 0 \\ 2x + 2 \neq 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 8x + 6 > 0$.
Разделим на 2: $x^2 - 4x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Парабола $y=x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $2x + 2 > 0 \implies 2x > -2 \implies x > -1$.

Решим третье условие: $2x + 2 \neq 1 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -0.5$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1, -0.5) \cup (-0.5, 1) \cup (3, \infty)$.

Теперь решим само уравнение, используя определение логарифма $\log_b a = c \iff a = b^c$:
$2x^2 - 8x + 6 = (2x + 2)^2$
$2x^2 - 8x + 6 = 4x^2 + 8x + 4$
$2x^2 + 16x - 2 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + 8x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 64 + 4 = 68$
$\sqrt{D} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -4 \pm \sqrt{17}$
Получаем два корня: $x_1 = -4 + \sqrt{17}$ и $x_2 = -4 - \sqrt{17}$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ.
Оценим значение $\sqrt{17}$: $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, значит $4 < \sqrt{17} < 5$.
Для $x_1 = -4 + \sqrt{17}$: $0 < -4 + \sqrt{17} < 1$. Этот корень входит в интервал $(-0.5, 1)$ ОДЗ.
Для $x_2 = -4 - \sqrt{17}$: $-4 - \sqrt{17} < -4 - 4 = -8$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x > -1$.

Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $x = -4 + \sqrt{17}$.

2) $(\log_2 x)^2 + 3\log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, $x > 0$.

Преобразуем логарифм с основанием $\frac{1}{2}$ к основанию 2, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = \frac{1}{-1}\log_2 x = -\log_2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\log_2 x)^2 + 3(-\log_2 x) + 2 = 0$
$(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета. Сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни:
$t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
1. Если $\log_2 x = 1$, то $x = 2^1 = 2$.
2. Если $\log_2 x = 2$, то $x = 2^2 = 4$.

Оба корня ($x=2$ и $x=4$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1=2, x_2=4$.

3) $\log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \log_x 5 = 1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x + 4 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4/3 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию для второго логарифма: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.
$\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.
Заметим, что из ОДЗ следует $x \neq 1$, поэтому $\log_5 x \neq 0$.

Подставим в уравнение:
$\log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \frac{1}{\log_5 x} = 1$
$\log_5 \sqrt{3x+4} = \log_5 x$

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять их аргументы:
$\sqrt{3x+4} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом нужно учесть, что правая часть должна быть неотрицательной, то есть $x \geq 0$, что уже учтено в ОДЗ.
$3x + 4 = x^2$
$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 3, произведение равно -4. Корни:
$x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=4$.