Номер 4, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Решить уравнение:

1) $ \log_4 (3x + 1) = 2 $;

2) $ \log_3 (x + 2) + \log_3 x = 1 $;

3) $ \lg (x^2 - 6x + 9) = \lg 3 + \lg (x + 3) $.

1) Дано уравнение $log_4(3x+1)=2$.
Согласно определению логарифма ($log_a(b)=c \Leftrightarrow a^c=b$), уравнение равносильно следующему:
$3x+1 = 4^2$
$3x+1 = 16$
$3x = 16 - 1$
$3x = 15$
$x = 5$
Необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
$3x+1 > 0$
$3x > -1$
$x > -1/3$
Найденный корень $x=5$ удовлетворяет условию $5 > -1/3$, следовательно, он является решением уравнения.
Ответ: 5

2) Дано уравнение $log_3(x+2)+log_3x=1$.
Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x+2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \end{cases} $
Общим решением системы неравенств является $x > 0$.
Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $log_a(b)+log_a(c)=log_a(bc)$:
$log_3((x+2)x) = 1$
$log_3(x^2+2x) = 1$
По определению логарифма:
$x^2+2x = 3^1$
$x^2+2x-3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = -3$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x>0$):
- $x_1=1$ удовлетворяет условию $1 > 0$.
- $x_2=-3$ не удовлетворяет условию $-3 > 0$, значит, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1

3) Дано уравнение $lg(x^2-6x+9) = lg(3) + lg(x+3)$.
ОДЗ определяется системой неравенств:
$ \begin{cases} x^2-6x+9 > 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2-6x+9$ - это полный квадрат $(x-3)^2$. Неравенство $(x-3)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=3$.
Решим второе неравенство: $x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > -3$ и $x \neq 3$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов:
$lg(x^2-6x+9) = lg(3(x+3))$
Поскольку основания логарифмов равны (десятичный логарифм, основание 10), можно приравнять их аргументы:
$x^2-6x+9 = 3(x+3)$
$x^2-6x+9 = 3x+9$
$x^2-6x-3x+9-9 = 0$
$x^2-9x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-9) = 0$
Получаем два корня:
$x_1=0$ или $x_2=9$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -3$ и $x \neq 3$):
- $x_1=0$: удовлетворяет условиям ($0 > -3$ и $0 \neq 3$).
- $x_2=9$: удовлетворяет условиям ($9 > -3$ и $9 \neq 3$).
Оба корня подходят.
Ответ: 0; 9