Номер 1, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

1) $\log_4 64$;

2) $\lg 0,01$;

3) $2^{\log_2 6}$;

4) $3^{2 \log_3 5}$;

5) $\log_2 68 - \log_2 17$.

1) Чтобы вычислить $ \log_4 64 $, нужно найти степень, в которую необходимо возвести основание 4, чтобы получить число 64. Пусть $ \log_4 64 = x $. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $ 4^x = 64 $. Представим число 64 в виде степени с основанием 4: $ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $. Таким образом, $ 4^x = 4^3 $, откуда следует, что $ x = 3 $.
Ответ: 3

2) Выражение $ \lg 0,01 $ — это десятичный логарифм числа 0,01, то есть логарифм по основанию 10. Запишем это как $ \log_{10} 0,01 $. Пусть $ \log_{10} 0,01 = x $. По определению логарифма, $ 10^x = 0,01 $. Представим число 0,01 в виде степени с основанием 10. Мы знаем, что $ 0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2} $. Значит, $ 10^x = 10^{-2} $, откуда $ x = -2 $.
Ответ: -2

3) Для вычисления выражения $ 2^{\log_2 6} $ применяется основное логарифмическое тождество: $ a^{\log_a b} = b $. В данном случае основание степени $ a = 2 $ совпадает с основанием логарифма в показателе, а число под знаком логарифма $ b = 6 $. Применяя тождество, получаем: $ 2^{\log_2 6} = 6 $.
Ответ: 6

4) В выражении $ 3^{2\log_3 5} $ сначала преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма: $ n \cdot \log_a b = \log_a (b^n) $. Применим это свойство к показателю $ 2\log_3 5 $: $ 2\log_3 5 = \log_3 (5^2) = \log_3 25 $. Теперь исходное выражение принимает вид $ 3^{\log_3 25} $. Далее, используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, получаем $ 3^{\log_3 25} = 25 $.
Ответ: 25

5) Для вычисления выражения $ \log_2 68 - \log_2 17 $ используется свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right) $. Применим это свойство: $ \log_2 68 - \log_2 17 = \log_2\left(\frac{68}{17}\right) $. Вычислим частное: $ \frac{68}{17} = 4 $. Теперь выражение упростилось до $ \log_2 4 $. Чтобы найти значение этого логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 4? Так как $ 2^2 = 4 $, то $ \log_2 4 = 2 $.
Ответ: 2