Номер 9, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Каково множество значений логарифмической функции?

Логарифмическая функция задается формулой $y = \log_a x$, где $a$ — это основание логарифма, удовлетворяющее условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Множество значений функции — это совокупность всех значений, которые может принимать переменная $y$. Для нахождения множества значений логарифмической функции удобно использовать её связь с показательной (экспоненциальной) функцией.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является обратной по отношению к показательной функции $x = a^y$. Это означает, что область определения одной функции является множеством значений для другой, и наоборот.

Рассмотрим показательную функцию $x = a^y$:

• Её область определения (множество всех допустимых значений аргумента $y$) — это множество всех действительных чисел, то есть $y \in (-\infty, +\infty)$.
• Её множество значений (множество всех значений, которые может принимать функция $x$) — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Так как логарифмическая функция $y = \log_a x$ обратна показательной, её свойства меняются местами:

• Область определения логарифмической функции (аргумент $x$) совпадает с множеством значений показательной: $x \in (0, +\infty)$.
• Множество значений логарифмической функции (значение $y$) совпадает с областью определения показательной: $y \in (-\infty, +\infty)$.

Таким образом, логарифмическая функция может принимать абсолютно любое действительное значение. Это можно показать на примерах. Какое бы действительное число $y_0$ мы ни взяли, мы всегда сможем найти соответствующее ему значение $x_0$ по формуле $x_0 = a^{y_0}$. Поскольку $a > 0$, то $x_0$ всегда будет положительным числом, то есть будет входить в область определения логарифма.

• Если мы хотим получить большое положительное значение, например $y=1000$, мы должны взять $x=a^{1000}$.
• Если мы хотим получить большое по модулю отрицательное значение, например $y=-1000$, мы должны взять $x=a^{-1000}=\frac{1}{a^{1000}}$.
• Если мы хотим получить $y=0$, мы должны взять $x=a^0=1$.

Это доказывает, что $y$ может быть любым числом из множества действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: Множеством значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток $(-\infty, +\infty)$.