Номер 7, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

7. Записать формулу перехода от логарифма числа $k$ по основанию $q$ к логарифмам по основанию $p$.

$\log_q k = \frac{\log_p k}{\log_p q}$

При каких значениях $k, q$ и $p$ имеет смысл эта формула?

Записать формулу перехода от логарифма числа k по основанию q к логарифмам по основанию p.

Формула перехода от логарифма числа $k$ по основанию $q$ к логарифмам по новому основанию $p$ позволяет выразить один логарифм через другие. Эта формула, также известная как формула замены основания логарифма, имеет следующий вид:

$ \log_q k = \frac{\log_p k}{\log_p q} $

Здесь $\log_q k$ — исходный логарифм, а $\log_p k$ и $\log_p q$ — логарифмы по новому основанию $p$.

Ответ: $ \log_q k = \frac{\log_p k}{\log_p q} $.

При каких значениях k, q и p имеет смысл эта формула?

Чтобы данная формула имела смысл, необходимо, чтобы все логарифмические выражения, входящие в нее, были определены, а также чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Это накладывает следующие ограничения на переменные $k$, $q$ и $p$:

1. Условия для существования логарифма в левой части формулы ($\log_q k$). Согласно определению логарифма, число под логарифмом должно быть строго положительным, а основание — строго положительным и не равным единице. Отсюда получаем:
$k > 0$
$q > 0$ и $q \ne 1$

2. Условия для существования логарифмов в правой части формулы ($\log_p k$ и $\log_p q$). Новое основание $p$ также должно быть положительным и не равным единице:
$p > 0$ и $p \ne 1$

3. Условие для знаменателя. Знаменатель дроби $\log_p q$ не должен быть равен нулю. Условие $\log_p q \ne 0$ означает, что $q \ne p^0$, то есть $q \ne 1$. Это требование уже содержится в условиях для основания $q$, перечисленных в пункте 1.

Таким образом, объединяя все вышеперечисленные условия, получаем, что формула имеет смысл, когда все три переменные удовлетворяют своим областям определения для логарифмической функции.

Ответ: Формула имеет смысл при $k > 0$, $q > 0$, $q \ne 1$, $p > 0$ и $p \ne 1$.