Номер 3, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Сформулировать основные свойства логарифмов.

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, запись $\log_a b = x$ равносильна записи $a^x = b$.

Основные свойства логарифмов, справедливые при $a > 0, a \neq 1$ и для положительных значений переменных под знаком логарифма:

Основное логарифмическое тождество
Это тождество является прямым следствием определения логарифма. Оно устанавливает связь между операциями возведения в степень и логарифмирования. Для $b > 0$.
Ответ: $a^{\log_a b} = b$

Логарифм произведения
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Для $x > 0, y > 0$.
Ответ: $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Логарифм частного (дроби)
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя по тому же основанию. Для $x > 0, y > 0$.
Ответ: $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$

Логарифм степени
Логарифм числа, возведенного в степень, равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Для $x > 0$ и любого действительного $p$.
Ответ: $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$

Формула перехода к новому основанию
Это свойство позволяет перейти от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию $c$ (где $c>0, c \neq 1$). Для $b>0$.
Ответ: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Также из этих основных свойств вытекает ряд важных следствий и частных случаев:

• Логарифм единицы: Логарифм 1 по любому допустимому основанию равен 0, так как $a^0 = 1$.
  Ответ: $\log_a 1 = 0$
• Логарифм основания: Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1, так как $a^1 = a$.
  Ответ: $\log_a a = 1$
• Следствие из формулы перехода к новому основанию: Позволяет поменять местами основание логарифма и число под знаком логарифма. Для $b > 0, b \neq 1$.
  Ответ: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
• Вынесение показателя степени из основания логарифма: Если основание логарифма представлено в виде степени. Для $x > 0$ и $q \neq 0$.
  Ответ: $\log_{a^q} x = \frac{1}{q} \log_a x$
• Комбинированное свойство для степеней: Объединяет свойство логарифма степени и вынесение показателя из основания. Для $x > 0$ и $q \neq 0$.
  Ответ: $\log_{a^q} x^p = \frac{p}{q} \log_a x$