Номер 920, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

920. Период полураспада некоторого вещества равен 4 годам. Через какое время масса этого вещества уменьшится в 100 раз?

Для решения этой задачи используется формула закона радиоактивного распада, которая описывает изменение массы вещества с течением времени:

$M(t) = M_0 \cdot 2^{-t/T}$

В данной формуле:
$M(t)$ — это масса вещества в момент времени $t$.
$M_0$ — это начальная масса вещества.
$T$ — это период полураспада.
$t$ — это время, которое необходимо найти.

Согласно условиям задачи, период полураспада вещества составляет $T = 4$ года. Нам нужно определить время $t$, по истечении которого масса вещества уменьшится в 100 раз. Математически это условие записывается как $M(t) = \frac{M_0}{100}$.

Подставим известные значения в основную формулу:

$\frac{M_0}{100} = M_0 \cdot 2^{-t/4}$

Поскольку начальная масса $M_0$ не равна нулю, мы можем сократить на нее обе части уравнения:

$\frac{1}{100} = 2^{-t/4}$

Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, перевернем дробь в левой части и уберем знак минуса в показателе степени в правой части:

$100 = 2^{t/4}$

Для нахождения $t$ необходимо решить это показательное уравнение. Сделаем это с помощью логарифмирования. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(100) = \log_2(2^{t/4})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, упростим правую часть уравнения:

$\log_2(100) = \frac{t}{4}$

Теперь выразим время $t$:

$t = 4 \cdot \log_2(100)$

Это точный ответ. Для получения численного значения можно вычислить $\log_2(100)$. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма (например, к десятичному логарифму $lg$, который является $log_{10}$):

$\log_2(100) = \frac{\lg(100)}{\lg(2)}$

Мы знаем, что $\lg(100) = 2$, а значение $\lg(2)$ приблизительно равно $0.30103$.

$\log_2(100) \approx \frac{2}{0.30103} \approx 6.64386$

Подставим это значение обратно в выражение для $t$:

$t \approx 4 \cdot 6.64386 \approx 26.57544$ года.

Округлив результат до десятых, получим, что масса вещества уменьшится в 100 раз примерно через 26,6 года.

Ответ: $t = 4 \cdot \log_2(100)$ года, что составляет примерно 26,6 года.