Номер 919, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

919. Решить неравенство:

1) $\log_a (x-1)+\log_a x > 2;$

2) $\log_a^2 x^2 > 1.$

1) $\log_a (x-1) + \log_a x > 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \ne 1$.
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$
$x > 0$
Пересечением этих условий является $x > 1$.

Теперь преобразуем неравенство, используя свойство суммы логарифмов $\log_b(M) + \log_b(N) = \log_b(M \cdot N)$:
$\log_a((x-1)x) > 2$
$\log_a(x^2 - x) > 2$
Представим число 2 как логарифм по основанию $a$: $2 = \log_a(a^2)$.
$\log_a(x^2 - x) > \log_a(a^2)$

Решение этого неравенства зависит от значения основания $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a > 1$
В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
$x^2 - x > a^2$
$x^2 - x - a^2 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - a^2 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4(1)(-a^2) = 1 + 4a^2$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a^2}}{2}$
Парабола $y = x^2 - x - a^2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - a^2 > 0$ выполняется при $x < \frac{1 - \sqrt{1 + 4a^2}}{2}$ или $x > \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2}$.
Теперь учтем ОДЗ ($x > 1$).
Поскольку $a > 1$, то $\sqrt{1 + 4a^2} > \sqrt{1+4} = \sqrt{5} > 2$, значит, $x_1 = \frac{1 - \sqrt{1 + 4a^2}}{2} < \frac{1-2}{2} = -0.5$. Таким образом, интервал $x < x_1$ не пересекается с ОДЗ.
Для второго корня $x_2 = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2} > \frac{1+2}{2} = 1.5 > 1$.
Пересечение решения $x > x_2$ с ОДЗ $x > 1$ дает $x > \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2}$.

Случай 2: $0 < a < 1$
В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$x^2 - x < a^2$
$x^2 - x - a^2 < 0$
Корни квадратного трехчлена те же: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{1 + 4a^2}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2}$.
Неравенство выполняется между корнями: $\frac{1 - \sqrt{1 + 4a^2}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2}$.
Учтем ОДЗ ($x > 1$).
Корень $x_1 = \frac{1 - \sqrt{1 + 4a^2}}{2} < 0$. Корень $x_2 = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2} > \frac{1+\sqrt{1}}{2} = 1$.
Пересечение решения с ОДЗ дает $1 < x < \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2}$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in \left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2}, +\infty\right)$; если $0 < a < 1$, то $x \in \left(1, \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^2}}{2}\right)$.

2) $\log_a^2 x^2 > 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма: $a > 0$, $a \ne 1$.
Аргумент логарифма: $x^2 > 0$, что означает $x \ne 0$.

Неравенство $\log_a^2 x^2 > 1$ можно записать как $(\log_a x^2)^2 > 1$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$\log_a x^2 > 1$ или $\log_a x^2 < -1$.
Представим $1$ и $-1$ в виде логарифмов по основанию $a$: $1 = \log_a a$ и $-1 = \log_a a^{-1} = \log_a \frac{1}{a}$.
Получаем совокупность:
$\log_a x^2 > \log_a a$
$\log_a x^2 < \log_a \frac{1}{a}$

Рассмотрим два случая для основания $a$.

Случай 1: $a > 1$
Логарифмическая функция возрастающая, знаки неравенств сохраняются.
$x^2 > a$ или $x^2 < \frac{1}{a}$.
Из $x^2 > a$ следует $x \in (-\infty, -\sqrt{a}) \cup (\sqrt{a}, +\infty)$.
Из $x^2 < \frac{1}{a}$ следует $-\frac{1}{\sqrt{a}} < x < \frac{1}{\sqrt{a}}$, то есть $x \in (-\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a}})$.
Объединяя эти множества и учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), получаем решение:
$x \in (-\infty, -\sqrt{a}) \cup (-\frac{1}{\sqrt{a}}, 0) \cup (0, \frac{1}{\sqrt{a}}) \cup (\sqrt{a}, +\infty)$.

Случай 2: $0 < a < 1$
Логарифмическая функция убывающая, знаки неравенств меняются на противоположные.
$x^2 < a$ или $x^2 > \frac{1}{a}$.
Из $x^2 < a$ следует $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$, то есть $x \in (-\sqrt{a}, \sqrt{a})$.
Из $x^2 > \frac{1}{a}$ следует $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{a}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{a}}, +\infty)$.
Объединяя эти множества и учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), получаем решение:
$x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{a}}) \cup (-\sqrt{a}, 0) \cup (0, \sqrt{a}) \cup (\frac{1}{\sqrt{a}}, +\infty)$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty, -\sqrt{a}) \cup (-\frac{1}{\sqrt{a}}, 0) \cup (0, \frac{1}{\sqrt{a}}) \cup (\sqrt{a}, +\infty)$; если $0 < a < 1$, то $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{a}}) \cup (-\sqrt{a}, 0) \cup (0, \sqrt{a}) \cup (\frac{1}{\sqrt{a}}, +\infty)$.