Номер 922, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

922. Клиент, открыв счёт в банке, положил на него 200 000 рублей под 7% годовых. Он хочет накопить не менее 300 000 рублей. Определить минимальное число лет, по прошествии которых он сможет снять желаемую сумму.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов, которая описывает рост вклада с ежегодной капитализацией:

$S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n$

где:
$S_n$ — итоговая сумма на счёте через $n$ лет,
$S_0$ — начальная сумма вклада (200 000 рублей),
$r$ — годовая процентная ставка в долях (7% = 0.07),
$n$ — количество лет, которое необходимо найти.

По условию, итоговая сумма должна быть не менее 300 000 рублей. Составим неравенство:

$S_n \ge 300000$

Подставим известные значения в формулу:

$200000 \cdot (1 + 0.07)^n \ge 300000$

Упростим неравенство. Сначала разделим обе части на 200 000:

$(1.07)^n \ge \frac{300000}{200000}$

$(1.07)^n \ge 1.5$

Чтобы найти показатель степени $n$, необходимо прологарифмировать обе части неравенства. Можно использовать натуральный логарифм (ln):

$\ln((1.07)^n) \ge \ln(1.5)$

Применим свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$:

$n \cdot \ln(1.07) \ge \ln(1.5)$

Теперь выразим $n$. Так как $\ln(1.07)$ — положительное число, знак неравенства при делении не изменится:

$n \ge \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.07)}$

Вычислим приближенные значения логарифмов:
$\ln(1.5) \approx 0.405465$
$\ln(1.07) \approx 0.067659$

$n \ge \frac{0.405465}{0.067659} \approx 5.992$

Поскольку проценты начисляются в конце каждого года, количество лет $n$ должно быть целым числом. Минимальное целое число, удовлетворяющее неравенству $n \ge 5.992$, — это 6.

Проверим расчет, вычислив сумму на счете через 5 и 6 лет:
Через 5 лет: $S_5 = 200000 \cdot (1.07)^5 \approx 200000 \cdot 1.40255 \approx 280510$ рублей. Эта сумма меньше 300 000 рублей.
Через 6 лет: $S_6 = 200000 \cdot (1.07)^6 \approx 200000 \cdot 1.50073 \approx 300146$ рублей. Эта сумма больше 300 000 рублей.

Таким образом, клиенту потребуется 6 полных лет, чтобы накопить желаемую сумму.

Ответ: 6 лет.