Номер 916, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

916. Решить неравенство:

1) $\log_{\frac{1}{3}}(2^{x+2} - 4^x) \ge -2$;

2) $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} - 36^x) \ge -2$.

1) Решить неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(2^{x+2} - 4^x) \ge -2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$2^{x+2} - 4^x > 0$

Преобразуем выражение:

$2^x \cdot 2^2 - (2^2)^x > 0$

$4 \cdot 2^x - (2^x)^2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

$4t - t^2 > 0$

$t(4 - t) > 0$

Так как $t > 0$, неравенство выполняется при $4 - t > 0$, то есть $t < 4$.

Объединяя условия на $t$, получаем $0 < t < 4$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < 2^x < 4$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех действительных $x$. Решим вторую часть:

$2^x < 4 \implies 2^x < 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, то $x < 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 2)$.

Теперь решим само неравенство. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Поэтому при потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) знак неравенства меняется на противоположный:

$2^{x+2} - 4^x \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

$4 \cdot 2^x - (2^x)^2 \le 3^2$

$4 \cdot 2^x - (2^x)^2 \le 9$

Снова используем замену $t = 2^x$:

$4t - t^2 \le 9$

$0 \le t^2 - 4t + 9$

Рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = t^2 - 4t + 9$. Найдем дискриминант соответствующего уравнения $t^2 - 4t + 9 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), парабола $y = t^2 - 4t + 9$ полностью находится выше оси абсцисс. Это означает, что неравенство $t^2 - 4t + 9 \ge 0$ выполняется для всех действительных значений $t$. Следовательно, оно верно для всех $x$.

Окончательное решение является пересечением множества решений неравенства (все действительные числа) и ОДЗ ($x < 2$).

Пересечение $(-\infty, +\infty)$ и $(-\infty, 2)$ дает интервал $(-\infty, 2)$.

Ответ: $(-\infty, 2)$.

2) Решить неравенство $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} - 36^x) \ge -2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$6^{x+1} - 36^x > 0$

$6 \cdot 6^x - (6^2)^x > 0$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как $6^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$6t - t^2 > 0$

$t(6 - t) > 0$

Поскольку $t > 0$, неравенство выполняется, когда $6 - t > 0$, то есть $t < 6$.

Таким образом, $0 < t < 6$. Возвращаемся к переменной $x$:

$0 < 6^x < 6^1 \implies x < 1$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 1)$.

Теперь решим исходное неравенство. Основание логарифма $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$6^{x+1} - 36^x \le \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2}$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le (\sqrt{5})^2$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le 5$

Используем замену $t = 6^x$:

$6t - t^2 \le 5$

$t^2 - 6t + 5 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - 6t + 5 \ge 0$ выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 5$.

Теперь учтем ОДЗ для переменной $t$, которое мы нашли ранее: $0 < t < 6$.

Найдем пересечение решения $(t \le 1 \text{ или } t \ge 5)$ с условием $0 < t < 6$. Это можно разбить на два случая:

1. $t \le 1$ и $0 < t < 6 \implies 0 < t \le 1$.

2. $t \ge 5$ и $0 < t < 6 \implies 5 \le t < 6$.

Таким образом, мы получили совокупность неравенств для $t$: $0 < t \le 1$ или $5 \le t < 6$.

Возвращаемся к переменной $x$, подставляя $t = 6^x$:

1. $0 < 6^x \le 1$. Так как $1 = 6^0$, получаем $6^x \le 6^0$. Поскольку основание $6 > 1$, то $x \le 0$.

2. $5 \le 6^x < 6$. Логарифмируем все части неравенства по основанию 6 (знаки неравенства сохраняются, так как $6 > 1$):

$\log_6 5 \le \log_6(6^x) < \log_6 6$

$\log_6 5 \le x < 1$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty, 0] \cup [\log_6 5, 1)$.