Номер 910, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

910. $\log_{|2x+2|}(1-9^x) < \log_{|2x+2|}(1+3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9}+3^{x-1}\right).$

Исходное неравенство: $ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) < \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Для корректности логарифмических выражений должны выполняться следующие условия:
1) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$1 - 9^x > 0 \implies 9^x < 1 \implies 9^x < 9^0 \implies x < 0$.
$1 + 3^x > 0$ — это выражение всегда положительно, так как $3^x > 0$ для любого $x$.
$\frac{5}{9} + 3^{x-1} > 0$ — это выражение также всегда положительно.
2) Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:
$|2x+2| > 0 \implies 2x+2 \neq 0 \implies x \neq -1$.
$|2x+2| \neq 1 \implies 2x+2 \neq 1$ и $2x+2 \neq -1$.
Из $2x+2 \neq 1$ получаем $2x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{2}$.
Из $2x+2 \neq -1$ получаем $2x \neq -3 \implies x \neq -\frac{3}{2}$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$.

2. Упростим неравенство

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, преобразуем правую часть неравенства: $ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) < \log_{|2x+2|}\left((1 + 3^x)\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)\right) $
Заметим, что $1 - 9^x = 1 - (3^x)^2 = (1 - 3^x)(1 + 3^x)$. Из ОДЗ ($x < 0$) следует, что $0 < 3^x < 1$, а значит $1 - 3^x > 0$.
Перепишем неравенство: $ \log_{|2x+2|}((1 - 3^x)(1 + 3^x)) < \log_{|2x+2|}\left((1 + 3^x)\left(\frac{5}{9} + \frac{3^x}{3}\right)\right) $

3. Решим неравенство

Применим метод рационализации для логарифмических неравенств. Неравенство вида $\log_{a(x)} f(x) < \log_{a(x)} g(x)$ с учетом ОДЗ равносильно неравенству $(a(x)-1)(f(x)-g(x)) < 0$.
В нашем случае $a(x) = |2x+2|$, $f(x) = (1 - 3^x)(1 + 3^x)$, $g(x) = (1 + 3^x)(\frac{5}{9} + \frac{3^x}{3})$.
Получаем: $ (|2x+2| - 1) \left[ (1 - 3^x)(1 + 3^x) - (1 + 3^x)\left(\frac{5}{9} + \frac{3^x}{3}\right) \right] < 0 $
Вынесем за скобки общий множитель $(1 + 3^x)$. Он всегда положителен, поэтому на него можно сократить, не меняя знака неравенства: $ (|2x+2| - 1) \left[ (1 - 3^x) - \left(\frac{5}{9} + \frac{3^x}{3}\right) \right] < 0 $
Упростим выражение во второй скобке: $ 1 - 3^x - \frac{5}{9} - \frac{3^x}{3} = \frac{4}{9} - 3^x\left(1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{9} - \frac{4}{3} \cdot 3^x = \frac{4}{3} \left(\frac{1}{3} - 3^x\right) $
Неравенство принимает вид: $ (|2x+2| - 1) \cdot \frac{4}{3} \left(\frac{1}{3} - 3^x\right) < 0 $
Разделим обе части на положительное число $\frac{4}{3}$: $ (|2x+2| - 1) (3^{-1} - 3^x) < 0 $

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Множители имеют знаки "+" и "-".
$\begin{cases} |2x+2| - 1 > 0 \\ 3^{-1} - 3^x < 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$|2x+2| > 1 \implies 2x+2 > 1$ или $2x+2 < -1 \implies x > -1/2$ или $x < -3/2$.
$3^{-1} < 3^x \implies -1 < x$.
Пересечение этих условий ($x > -1/2$ или $x < -3/2$) и ($x > -1$) дает $x > -1/2$.
С учетом ОДЗ ($x < 0$), получаем решение для этого случая: $x \in (-1/2; 0)$.

Случай 2: Множители имеют знаки "-" и "+".
$\begin{cases} |2x+2| - 1 < 0 \\ 3^{-1} - 3^x > 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$|2x+2| < 1 \implies -1 < 2x+2 < 1 \implies -3 < 2x < -1 \implies -3/2 < x < -1/2$.
$3^{-1} > 3^x \implies -1 > x$.
Пересечение этих условий ($-3/2 < x < -1/2$) и ($x < -1$) дает $-3/2 < x < -1$.
Данный интервал полностью удовлетворяет ОДЗ.

4. Объединение решений

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-3/2; -1) \cup (-1/2; 0)$.