Номер 904, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

904. 1) $\log_2 \frac{2}{x-1} = \log_2 x;$

2) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{10}{7-x} = \log_{\frac{1}{2}} x;$

3) $\lg \frac{x+8}{x-1} = \lg x;$

4) $\lg \frac{x-4}{x-2} = \lg x.$

1) Дано логарифмическое уравнение $ \log_2 \frac{2}{x-1} = \log_2 x $. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $ \frac{2}{x-1} > 0 $ и $ x > 0 $. Из первого неравенства, так как числитель $2$ положителен, следует, что знаменатель также должен быть положителен: $ x-1 > 0 $, откуда $ x > 1 $. Объединяя оба условия ($ x > 1 $ и $ x > 0 $), получаем ОДЗ: $ x > 1 $. Поскольку основания логарифмов в уравнении одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $ \frac{2}{x-1} = x $ Умножим обе части на $ (x-1) $, так как из ОДЗ мы знаем, что $ x-1 \neq 0 $: $ 2 = x(x-1) $ $ 2 = x^2 - x $ $ x^2 - x - 2 = 0 $ Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -1 $. Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ x > 1 $). Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию $ 2 > 1 $. Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет условию $ -1 > 1 $. Следовательно, у уравнения есть только один корень. Ответ: $ 2 $.

2) Дано логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{10}{7-x} = \log_{\frac{1}{2}} x $. ОДЗ определяется условиями: $ \frac{10}{7-x} > 0 $ и $ x > 0 $. Из первого неравенства, так как числитель $10$ положителен, знаменатель $ 7-x $ также должен быть положителен: $ 7-x > 0 $, откуда $ x < 7 $. Объединяя условия ($ x < 7 $ и $ x > 0 $), получаем ОДЗ: $ 0 < x < 7 $. Приравниваем аргументы логарифмов: $ \frac{10}{7-x} = x $ $ 10 = x(7-x) $ $ 10 = 7x - x^2 $ $ x^2 - 7x + 10 = 0 $ Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета: сумма корней равна $7$, произведение равно $10$. Корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 5 $. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($ 0 < x < 7 $). Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию $ 0 < 2 < 7 $. Корень $ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ 0 < 5 < 7 $. Оба корня являются решениями уравнения. Ответ: $ 2; 5 $.

3) Дано логарифмическое уравнение $ \lg \frac{x+8}{x-1} = \lg x $. (lg - это логарифм по основанию 10). ОДЗ: $ \frac{x+8}{x-1} > 0 $ и $ x > 0 $. Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = -8 $ и $ x = 1 $. Эти точки делят числовую прямую на интервалы. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -8) \cup (1, +\infty) $. Теперь учтем второе условие $ x > 0 $. Пересечение множеств $ (-\infty, -8) \cup (1, +\infty) $ и $ (0, +\infty) $ дает нам итоговую ОДЗ: $ x > 1 $. Приравниваем аргументы логарифмов: $ \frac{x+8}{x-1} = x $ $ x+8 = x(x-1) $ $ x+8 = x^2 - x $ $ x^2 - 2x - 8 = 0 $ Корни этого квадратного уравнения: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $. Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 1 $). Корень $ x_1 = 4 $ удовлетворяет условию $ 4 > 1 $. Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет условию $ -2 > 1 $. Уравнение имеет один корень. Ответ: $ 4 $.

4) Дано логарифмическое уравнение $ \lg \frac{x-4}{x-2} = \lg x $. ОДЗ: $ \frac{x-4}{x-2} > 0 $ и $ x > 0 $. Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = 4 $ и $ x = 2 $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty) $. Учитывая второе условие $ x > 0 $, получаем ОДЗ: $ x \in (0, 2) \cup (4, +\infty) $. Приравниваем аргументы логарифмов: $ \frac{x-4}{x-2} = x $ $ x-4 = x(x-2) $ $ x-4 = x^2 - 2x $ $ x^2 - 3x + 4 = 0 $ Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 $. Так как дискриминант отрицателен ($ D < 0 $), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное логарифмическое уравнение также не имеет решений. Ответ: нет корней.