Номер 897, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

897. Вычислить $ \log_{36} 15 $ с точностью до 0,001, зная, что $ \lg 3 \approx 0,4771 $, $ \lg 5 \approx 0,6990. $

Для вычисления $ \log_{36} 15 $ воспользуемся формулой перехода к новому основанию. Поскольку нам даны значения десятичных логарифмов (с основанием 10, обозначаются как $ \lg $), перейдем к основанию 10. Формула перехода к новому основанию $ c $ выглядит так: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $.

Применяя эту формулу, получаем: $ \log_{36} 15 = \frac{\lg 15}{\lg 36} $

Теперь необходимо выразить числитель и знаменатель через известные нам значения $ \lg 3 \approx 0,4771 $ и $ \lg 5 \approx 0,6990 $.

1. Вычислим числитель $ \lg 15 $. Используя свойство логарифма произведения ($ \lg(xy) = \lg x + \lg y $), получаем: $ \lg 15 = \lg (3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5 $ Подставляем данные значения: $ \lg 15 \approx 0,4771 + 0,6990 = 1,1761 $

2. Вычислим знаменатель $ \lg 36 $. Используя свойства логарифма степени ($ \lg(x^n) = n \lg x $) и произведения, представим $ 36 $ как $ 6^2 = (2 \cdot 3)^2 $: $ \lg 36 = \lg ( (2 \cdot 3)^2 ) = 2 \lg (2 \cdot 3) = 2 (\lg 2 + \lg 3) $ Нам неизвестно значение $ \lg 2 $, но его можно найти, зная, что $ \lg 10 = 1 $: $ \lg 10 = \lg(2 \cdot 5) = \lg 2 + \lg 5 = 1 $ Отсюда выражаем $ \lg 2 $: $ \lg 2 = 1 - \lg 5 \approx 1 - 0,6990 = 0,3010 $ Теперь можем вычислить $ \lg 36 $: $ \lg 36 \approx 2 (0,3010 + 0,4771) = 2 \cdot 0,7781 = 1,5562 $

3. Вычислим итоговое значение. Теперь, имея значения числителя и знаменателя, можем найти значение исходного выражения: $ \log_{36} 15 \approx \frac{1,1761}{1,5562} \approx 0,755751... $

4. Округлим результат. Согласно условию, результат нужно представить с точностью до 0,001, то есть округлить до трёх знаков после запятой. В числе 0,755751... четвёртая цифра после запятой — это 7. Так как $ 7 \ge 5 $, то округляем третью цифру (5) в большую сторону: $ 0,755751... \approx 0,756 $

Ответ: $0,756$