Номер 898, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

898. Выяснить, при каких значениях $x$ справедливо неравенство:

1) $\log_x 8 < \log_x 10;$2) $\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}.$

1) $\log_x 8 < \log_x 10$

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо проанализировать поведение логарифмической функции в зависимости от ее основания $x$.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть строго больше нуля и не равно единице. Аргументы логарифмов (8 и 10) уже положительны. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$, что можно записать в виде объединения интервалов: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание $x > 1$.
Когда основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция $y = \log_x a$ является возрастающей. Это значит, что для любых $a_1 > a_2 > 0$ справедливо неравенство $\log_x a_1 > \log_x a_2$. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам знак исходного неравенства сохраняется.
$\log_x 8 < \log_x 10 \implies 8 < 10$.
Неравенство $8 < 10$ является верным, поэтому все значения $x$ из рассматриваемого промежутка $x \in (1, +\infty)$ являются решениями.

Случай 2: Основание $0 < x < 1$.
Когда основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что для любых $a_1 > a_2 > 0$ справедливо неравенство $\log_x a_1 < \log_x a_2$. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам знак исходного неравенства меняется на противоположный.
$\log_x 8 < \log_x 10 \implies 8 > 10$.
Неравенство $8 > 10$ является ложным, поэтому в промежутке $x \in (0, 1)$ решений нет.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, приходим к выводу, что исходное неравенство справедливо только для $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) $\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$

Решение этого неравенства также основано на анализе значения основания логарифма $x$.

ОДЗ для этого неравенства такое же, как и в предыдущем пункте: $x > 0$ и $x \neq 1$, так как аргументы $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$ положительны. ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{3}{4} = 0.75$, а $\frac{1}{2} = 0.5$. Очевидно, что $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание $x > 1$.
Логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$\frac{3}{4} < \frac{1}{2}$.
Это неравенство ($0.75 < 0.5$) является ложным. Следовательно, на промежутке $x \in (1, +\infty)$ решений нет.

Случай 2: Основание $0 < x < 1$.
Логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:
$\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$.
Это неравенство ($0.75 > 0.5$) является верным. Следовательно, все значения $x$ из рассматриваемого промежутка $x \in (0, 1)$ являются решениями.

Объединяя результаты, получаем, что исходное неравенство справедливо для $0 < x < 1$.
Ответ: $x \in (0, 1)$.