Номер 895, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

895. Сравнить числа:

1) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ и $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$;

2) $2^{\frac{2 \log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9}{9}}$ и $\sqrt{8}$.

1) Сравним числа $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} $ и $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} $.

Для решения этой задачи преобразуем каждое из выражений, используя свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $.

Преобразуем первое число:

$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = \log_{2^{-1}} 3^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_2 3 = \log_2 3 $.

Преобразуем второе число:

$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \log_{3^{-1}} 2^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_3 2 = \log_3 2 $.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $ \log_2 3 $ и $ \log_3 2 $.

Оценим значение каждого из полученных логарифмов.

Для числа $ \log_2 3 $: основание логарифма $ 2 > 1 $. Так как $ 2 < 3 < 4 $, мы можем записать неравенство для логарифмов: $ \log_2 2 < \log_2 3 < \log_2 4 $. Поскольку $ \log_2 2 = 1 $ и $ \log_2 4 = 2 $, получаем, что $ 1 < \log_2 3 < 2 $.

Для числа $ \log_3 2 $: основание логарифма $ 3 > 1 $. Так как $ 1 < 2 < 3 $, мы можем записать неравенство для логарифмов: $ \log_3 1 < \log_3 2 < \log_3 3 $. Поскольку $ \log_3 1 = 0 $ и $ \log_3 3 = 1 $, получаем, что $ 0 < \log_3 2 < 1 $.

Сравнивая полученные оценки, видим, что $ \log_2 3 $ является числом, большим 1, а $ \log_3 2 $ — числом, меньшим 1.

Следовательно, $ \log_2 3 > \log_3 2 $, а значит и $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} $.

2) Сравним числа $ 2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} $ и $ \sqrt{8} $.

Сначала упростим первое выражение. Начнем с преобразования показателя степени: $ 2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9 $.

Используем свойства логарифмов:

1. $ n \log_a b = \log_a b^n $

2. $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $

Преобразуем первое слагаемое в показателе:

$ 2\log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25 $.

Преобразуем второе слагаемое в показателе:

$ \log_{\frac{1}{9}} 9 = \log_{9^{-1}} 9^1 = \frac{1}{-1} \log_9 9 = -1 \cdot 1 = -1 $.

Теперь весь показатель степени равен:

$ \log_2 25 + (-1) = \log_2 25 - 1 $.

Представим 1 как логарифм с основанием 2: $ 1 = \log_2 2 $. Тогда показатель степени становится:

$ \log_2 25 - \log_2 2 = \log_2 \frac{25}{2} $ (по свойству разности логарифмов).

Теперь подставим упрощенный показатель в исходное выражение:

$ 2^{\log_2 \frac{25}{2}} $.

Используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, получаем:

$ 2^{\log_2 \frac{25}{2}} = \frac{25}{2} = 12.5 $.

Теперь нам нужно сравнить число $ 12.5 $ и $ \sqrt{8} $.

Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Если $ a > 0, b > 0 $, то неравенство $ a > b $ равносильно неравенству $ a^2 > b^2 $.

Возведем в квадрат первое число:

$ (12.5)^2 = (\frac{25}{2})^2 = \frac{625}{4} = 156.25 $.

Возведем в квадрат второе число:

$ (\sqrt{8})^2 = 8 $.

Сравниваем квадраты: $ 156.25 > 8 $.

Так как квадрат первого числа больше квадрата второго, то и само первое число больше второго: $ 12.5 > \sqrt{8} $.

Следовательно, $ 2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} > \sqrt{8} $.

Ответ: $ 2^{2\log_2 5 + \log_{\frac{1}{9}} 9} > \sqrt{8} $.