Номер 892, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

892. 1) $ \log_3 (5 - 4x) < \log_3 (x - 1); $

2) $ \log_{0.3} (2x + 5) \ge \log_{0.3} (x + 1). $

1) Решим логарифмическое неравенство $\log_3(5-4x) < \log_3(x-1)$.
Для решения этого неравенства необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} 5 - 4x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} -4x > -5 \\ x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < \frac{5}{4} \\ x > 1 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ для данного неравенства есть интервал $x \in (1; \frac{5}{4})$.
Теперь перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма равно 3, что больше 1. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_3(t)$ является возрастающей. Это означает, что для аргументов выполняется неравенство с тем же знаком:
$5 - 4x < x - 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$5 + 1 < x + 4x$
$6 < 5x$
$x > \frac{6}{5}$
Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение найденного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x > \frac{6}{5} \\ 1 < x < \frac{5}{4} \end{cases}$
Сравним дроби: $\frac{6}{5} = 1.2$ и $\frac{5}{4} = 1.25$. Система принимает вид:
$\begin{cases} x > 1.2 \\ 1 < x < 1.25 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является интервал $(\frac{6}{5}; \frac{5}{4})$.
Ответ: $x \in (\frac{6}{5}; \frac{5}{4})$.

2) Решим логарифмическое неравенство $\log_{0.3}(2x+5) \ge \log_{0.3}(x+1)$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x + 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} 2x > -5 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{5}{2} \\ x > -1 \end{cases}$
Поскольку условие $x > -1$ является более строгим, чем $x > -2.5$, ОДЗ для неравенства: $x > -1$.
Теперь решим само неравенство. Основание логарифма равно 0.3, что меньше 1 ($0 < 0.3 < 1$). Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{0.3}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$2x + 5 \le x + 1$
Решим полученное линейное неравенство:
$2x - x \le 1 - 5$
$x \le -4$
Для получения окончательного ответа найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le -4 \\ x > -1 \end{cases}$
Эта система неравенств не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше или равно $-4$ и строго больше $-1$.
Ответ: нет решений.