Номер 885, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

885. Выяснить, является возрастающей или убывающей функция:

1) $y = \log_{0,2} x;$

2) $y = \log_{\sqrt{5}} x;$

3) $y = \log_{\frac{1}{e}} x;$

4) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x.$

Характер монотонности (возрастание или убывание) логарифмической функции вида $y = \log_a x$ полностью зависит от ее основания $a$. Существует два правила:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей на всей области определения.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей на всей области определения.

Применим эти правила к каждой из заданных функций.

1) $y = \log_{0.2} x$

Основание данной логарифмической функции $a = 0.2$. Сравниваем основание с единицей: $0 < 0.2 < 1$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

Основание функции $a = \sqrt{5}$. Оценим значение основания. Поскольку $5 > 1$, то и квадратный корень из 5 будет больше квадратного корня из 1, то есть $\sqrt{5} > 1$. Приблизительное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) $y = \log_{\frac{1}{e}} x$

Основание функции $a = \frac{1}{e}$. Число $e$ (основание натурального логарифма) является иррациональной константой, приблизительно равной $e \approx 2.718$. Поскольку $e > 1$, его обратное значение $\frac{1}{e}$ будет меньше 1, но больше 0. Таким образом, $0 < \frac{1}{e} < 1$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$

Основание функции $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить их квадраты (так как оба числа положительны). $(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$. Поскольку $\frac{3}{4} < 1$, то и $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$. Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, тогда $a \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$, что также подтверждает $0 < a < 1$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.