Номер 879, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

879. 1) $\log_{\frac{1}{4}} 64$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 81$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$;

4) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64}$.

1) Чтобы найти значение выражения $ \log_{\frac{1}{4}} 64 $, нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{4} $, чтобы получить число 64.
Запишем это в виде уравнения: $ (\frac{1}{4})^x = 64 $.
Представим основание $ \frac{1}{4} $ и число 64 в виде степеней с одинаковым основанием, например, 4.
$ \frac{1}{4} = 4^{-1} $
$ 64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 $
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$ (4^{-1})^x = 4^3 $
$ 4^{-x} = 4^3 $
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$ -x = 3 $
$ x = -3 $
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{4}} 64 = -3 $.
Ответ: -3

2) Найдем значение выражения $ \log_{\frac{1}{3}} 81 $. Обозначим его за $x$:
$ \log_{\frac{1}{3}} 81 = x $
По определению логарифма, это равносильно уравнению:
$ (\frac{1}{3})^x = 81 $
Приведем обе части уравнения к основанию 3.
$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $
$ 81 = 3^4 $
Подставим в уравнение:
$ (3^{-1})^x = 3^4 $
$ 3^{-x} = 3^4 $
Приравниваем показатели степеней:
$ -x = 4 $
$ x = -4 $
Значит, $ \log_{\frac{1}{3}} 81 = -4 $.
Ответ: -4

3) Найдем значение выражения $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} $. Пусть оно равно $x$:
$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = x $
Из определения логарифма следует:
$ (\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27} $
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $ \frac{1}{3} $.
$ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3 $
Получаем уравнение:
$ (\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^3 $
Так как основания равны, то и показатели степеней должны быть равны:
$ x = 3 $
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3 $.
Ответ: 3

4) Найдем значение выражения $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} $. Обозначим его за $x$:
$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = x $
По определению логарифма:
$ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64} $
Приведем правую часть к основанию $ \frac{1}{2} $.
Так как $ 64 = 2^6 $, то $ \frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = (\frac{1}{2})^6 $.
Наше уравнение принимает вид:
$ (\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^6 $
Приравниваем показатели:
$ x = 6 $
Таким образом, $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = 6 $.
Ответ: 6