Номер 877, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

877. $4^x(\sqrt{16^{1-x}-1}+2) < 4|4^x-1|$.

Решим неравенство $4^x(\sqrt{16^{1-x}-1}+2) < 4|4^x-1|$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$16^{1-x} - 1 \ge 0$
$16^{1-x} \ge 1$
$16^{1-x} \ge 16^0$
Так как основание степени $16 > 1$, то переходим к неравенству для показателей:
$1-x \ge 0$
$x \le 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 1]$.

2. Замена переменной

Сделаем замену $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Учтем ОДЗ: если $x \le 1$, то $4^x \le 4^1$, следовательно $t \le 4$.
Итак, для переменной $t$ имеем ограничение: $0 < t \le 4$.
Преобразуем выражение под корнем: $16^{1-x} = 16 \cdot 16^{-x} = 16 \cdot (4^2)^{-x} = 16 \cdot (4^x)^{-2} = \frac{16}{(4^x)^2} = \frac{16}{t^2}$.
Подставим замену в исходное неравенство:
$t(\sqrt{\frac{16}{t^2}-1}+2) < 4|t-1|$
Преобразуем выражение в скобках:
$t(\sqrt{\frac{16-t^2}{t^2}}+2) < 4|t-1|$
Так как $t > 0$, то $\sqrt{t^2}=t$:
$t(\frac{\sqrt{16-t^2}}{t}+2) < 4|t-1|$
Раскроем скобки в левой части:
$\sqrt{16-t^2} + 2t < 4|t-1|$

3. Решение неравенства с модулем

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $t-1$.

Случай 1: $t-1 \ge 0$, то есть $t \ge 1$.
С учетом ограничений на $t$, рассматриваем интервал $1 \le t \le 4$.
На этом интервале $|t-1| = t-1$. Неравенство принимает вид:
$\sqrt{16-t^2} + 2t < 4(t-1)$
$\sqrt{16-t^2} < 4t - 4 - 2t$
$\sqrt{16-t^2} < 2t - 4$
Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(t)} < g(t)$, которое равносильно системе:
$\begin{cases} 16-t^2 \ge 0 \\ 2t-4 > 0 \\ 16-t^2 < (2t-4)^2 \end{cases}$
Решаем систему:
1) $16-t^2 \ge 0 \implies t^2 \le 16 \implies -4 \le t \le 4$. С учетом $t>0$, получаем $0 < t \le 4$.
2) $2t-4 > 0 \implies 2t > 4 \implies t > 2$.
3) $16-t^2 < 4t^2 - 16t + 16 \implies 0 < 5t^2 - 16t \implies t(5t-16) > 0$. Корни $t=0$ и $t=16/5=3.2$. Решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{16}{5}, +\infty)$.
Пересекаем все условия для этого случая: $t \in [1, 4]$, $t \in (2, +\infty)$, $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{16}{5}, +\infty)$.
Общим решением для первого случая будет интервал $t \in (\frac{16}{5}, 4]$.

Случай 2: $t-1 < 0$, то есть $t < 1$.
С учетом ограничений на $t$, рассматриваем интервал $0 < t < 1$.
На этом интервале $|t-1| = -(t-1) = 1-t$. Неравенство принимает вид:
$\sqrt{16-t^2} + 2t < 4(1-t)$
$\sqrt{16-t^2} < 4 - 4t - 2t$
$\sqrt{16-t^2} < 4 - 6t$
Аналогично первому случаю, решаем систему:
$\begin{cases} 16-t^2 \ge 0 \\ 4-6t > 0 \\ 16-t^2 < (4-6t)^2 \end{cases}$
Решаем систему:
1) $0 < t \le 4$.
2) $4-6t > 0 \implies 4 > 6t \implies t < \frac{4}{6} \implies t < \frac{2}{3}$.
3) $16-t^2 < 16 - 48t + 36t^2 \implies 0 < 37t^2 - 48t \implies t(37t-48) > 0$. Корни $t=0$ и $t=48/37 \approx 1.3$. Решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{48}{37}, +\infty)$.
Пересекаем все условия для этого случая: $t \in (0, 1)$, $t \in (-\infty, \frac{2}{3})$, $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{48}{37}, +\infty)$.
Интервал $t \in (0, 1) \cap (-\infty, \frac{2}{3})$ дает $t \in (0, \frac{2}{3})$.
Теперь пересечем $t \in (0, \frac{2}{3})$ с $t \in (-\infty, 0) \cup (\frac{48}{37}, +\infty)$. Так как $\frac{2}{3} \approx 0.67$ и $\frac{48}{37} \approx 1.3$, пересечение пустое.
Во втором случае решений нет.

4. Обратная замена

Единственное решение для $t$ — это $t \in (\frac{16}{5}, 4]$.
Вернемся к переменной $x$, где $t=4^x$:
$\frac{16}{5} < 4^x \le 4$
Прологарифмируем все части неравенства по основанию 4. Так как основание $4>1$, знаки неравенства сохраняются.
$\log_4(\frac{16}{5}) < \log_4(4^x) \le \log_4(4)$
$\log_4(16) - \log_4(5) < x \le 1$
$2 - \log_4(5) < x \le 1$
Полученный интервал полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \le 1$).

Ответ: $x \in (2-\log_4(5), 1]$.